Để chứng minh rằng \( S = 16^5 + 2^{15} \) chia hết cho 33, ta sẽ sử dụng quy tắc chia hết cho 3 và 11, vì 33 = 3 × 11.

### Bước 1: Kiểm tra chia hết cho 3
Ta tính từng phần \( S \) theo modulo 3.

- \( 16 \equiv 1 \mod 3 \) (vì \( 16 = 3 \times 5 + 1 \))
- Do đó, \( 16^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \mod 3 \).

- \( 2 \equiv 2 \mod 3 \), nên \( 2^{15} \equiv 2 \mod 3 \) (vì \( 2^1 \equiv 2 \) và mọi số mũ chẵn đều cho kết quả 1).

Vậy:

\[
S \equiv 16^5 + 2^{15} \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3
\]

### Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 11
Tiếp theo, ta kiểm tra \( S \) theo modulo 11.

- \( 16 \equiv 5 \mod 11 \) (vì \( 16 = 11 + 5 \))
- Do đó, \( 16^5 \equiv 5^5 \).

Để tính \( 5^5 \mod 11 \), ta sử dụng phương pháp tính lũy thừa theo quy tắc lặp:

\[
5^2 = 25 \equiv 3 \mod 11
\]

\[
5^4 = (5^2)^2 \equiv 3^2 = 9 \mod 11
\]

Vì vậy:

\[
5^5 = 5^4 \cdot 5 \equiv 9 \cdot 5 = 45 \equiv 1 \mod 11
\]

Tiếp theo, \( 2^{15} \mod 11 \):

Sử dụng định lý Fermat cho thấy \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p = 11 \):

\[
2^{10} \equiv 1 \mod 11
\]

Do đó:

\[
2^{15} = 2^{10} \cdot 2^5 \equiv 1 \cdot 2^5 \equiv 2^5 \equiv 32 \equiv 10 \mod 11
\]

Cuối cùng, cộng lại:

\[
S \equiv 16^5 + 2^{15} \equiv 1 + 10 \equiv 11 \equiv 0 \mod 11
\]

### Kết luận
Vì \( S \equiv 0 \mod 3 \) và \( S \equiv 0 \mod 11 \), nên \( S \) chia hết cho 33.

Vậy \( S = 16^5 + 2^{15} \) chia hết cho 33.