So sánh các cặp số sau

Để so sánh các cặp phân số trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng cặp theo từng cách riêng, sử dụng các tính chất của phân số.

### a) So sánh \( A \) và \( B \)

- \( A = \frac{10^{11} - 1}{10^{12} - 1} \)
- \( B = \frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} \)

#### Phân tích \( A \):
Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[
A = \frac{10^{11} - 1}{10^{12} - 1} = \frac{10^{11} - 1}{(10^{12} - 1) / (10^{11} - 1)}
\]

Sau khi đơn giản hóa, sẽ thấy rằng \( A < 1 \).

#### Phân tích \( B \):
Tương tự với \( B \):

\[
B = \frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}
\]

Ta có thể thấy rằng cả tử và mẫu đều dương và mẫu lớn hơn tử, nên \( B < 1 \).

#### So sánh \( A \) và \( B \):
Bây giờ so sánh hai phân số \( A \) và \( B \):

\[
A = \frac{10^{11} - 1}{10^{12} - 1} < B = \frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}
\]

### b) So sánh \( C \) và \( D \)

- \( C = \frac{100^{100} + 1}{100^{99} + 1} \)
- \( D = \frac{100^{98} + 1}{100^{97} + 1} \)

#### Phân tích \( C \):
Ta có:

\[
C = \frac{100^{100} + 1}{100^{99} + 1}
\]

Tử \( 100^{100} + 1 > 100^{99} + 1 \) và mẫu \( 100^{99} + 1 \) cũng lớn hơn 1, suy ra \( C > 1 \).

#### Phân tích \( D \):
Tương tự:

\[
D = \frac{100^{98} + 1}{100^{97} + 1}
\]

Cũng có tử lớn hơn mẫu, suy ra \( D > 1 \).

#### So sánh \( C \) và \( D \):
Bây giờ để so sánh \( C \) và \( D \):

Tử của \( C \) \( > D \) và mẫu của \( C \) \( > D \). Vì vậy \( C > D \).

### Kết luận
- \( A < B \)
- \( C > D \)