Để thực hiện chuỗi biến hóa trong bài tập trên, chúng ta sẽ viết các phương trình phản ứng cho từng bước như sau:

### a) Các phương trình phản ứng:

1. **Phản ứng giữa FeCl₃ và nước tạo Fe(OH)₃:**
\[
FeCl_3 + 3H_2O \rightarrow Fe(OH)_3 + 3HCl
\]

2. **Phản ứng phân hủy Fe(OH)₃ tạo Fe₂O₃:**
\[
2Fe(OH)_3 \rightarrow Fe_2O_3 + 3H_2O
\]

3. **Phản ứng giữa FeCl₂ và dung dịch FeSO₄:**
\[
FeCl_2 + H_2SO_4 \rightarrow FeSO_4 + 2HCl
\]

4. **Phản ứng tạo Fe(NO₃)₂ từ FeSO₄:**
\[
FeSO_4 + 2HNO_3 \rightarrow Fe(NO_3)_2 + H_2SO_4
\]

5. **Phản ứng hóa hợp để tạo Fe(OH)₂ từ Fe(NO₃)₂:**
\[
Fe(NO_3)_2 + 2NaOH \rightarrow Fe(OH)_2 + 2NaNO_3
\]

### b) Chỉ từ các chất: KMnO₄, BaCl₂, H₂SO₄ và Fe, có thể chế tạo được các chất sau:

1. **Sử dụng KMnO₄:**
- Có thể dùng KMnO₄ để oxy hóa Fe(II) thành Fe(III):

\[
5Fe^{2+} + KMnO_4 + 8H_2SO_4 \rightarrow 5Fe^{3+} + MnSO_4 + K_2SO_4 + 8H_2O
\]

2. **Sử dụng BaCl₂:**
- Phản ứng với sulfate như H₂SO₄ có thể tạo ra barium sulfate:

\[
BaCl_2 + H_2SO_4 \rightarrow BaSO_4 + 2HCl
\]

3. **Sử dụng H₂SO₄:**
- Phản ứng với Fe trong môi trường axit có thể tạo ra Fe²⁺ và khí hidro:

\[
Fe + H_2SO_4 \rightarrow Fe^{2+} + H_2 + SO_4^{2-}
\]

### Các phương trình này chỉ là ví dụ và có thể có nhiều cách khác nhau để phản ứng. Hãy đảm bảo điều kiện thực hiện phản ứng cũng như các sản phẩm tạo thành được xem xét kỹ lưỡng.