Để giải bài toán của bạn, ta sẽ xử lý từng phần một.

### B1: Chứng minh \( E = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{60} \) chia hết cho 7 và 15

1. **Tính giá trị của \( E \)**:
\( E \) là một cấp số nhân với công bội \( q = 2 \) và số hạng đầu \( a = 2 \), số hạng cuối là \( 2^{60} \).

Số hạng đầu tiên: \( 2^1 \) và số hạng cuối cùng: \( 2^{60} \).

Số hạng: \( n = 60 - 1 + 1 = 60 \).

Công thức tổng của cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]
Áp dụng công thức:
\[
E = 2 \frac{2^{60} - 1}{2 - 1} = 2(2^{60} - 1) = 2^{61} - 2
\]

2. **Chứng minh chia hết cho 7**:
Ta sẽ tính \( 2^{61} - 2 \mod 7 \).
Sử dụng chu kỳ của \( 2^n \mod 7 \):
- \( 2^1 \equiv 2 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \)
- \( 2^3 \equiv 1 \)
- Chu kỳ là 3.

Tính \( 61 \mod 3 = 1 \), do đó:
\[
2^{61} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 7.
\]
Vậy:
\[
2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 7.
\]
Suy ra \( E \) chia hết cho 7.

3. **Chứng minh chia hết cho 15**:
Ta sẽ tính \( 2^{61} - 2 \mod 15 \).
- Tính \( 2^{61} \mod 15 \) theo định lý Euler:
\[
\phi(15) = 15(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5}) = 8.
\]
Theo định lý Euler, \( 2^8 \equiv 1 \mod 15 \).
Tính \( 61 \mod 8 = 5 \), do đó:
\[
2^{61} \equiv 2^5 = 32 \equiv 2 \mod 15.
\]
Vậy:
\[
2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 15.
\]
Suy ra \( E \) chia hết cho 15.

Kết luận, \( E = 2 + 2^2 + \ldots + 2^{60} \) chia hết cho 7 và 15.

---

### B2: Tính \( E = 100^2 + 200^2 + 300^2 + \ldots + 1000^2 \)

Sử dụng công thức:
\[
E = (100^2 + 200^2 + 300^2 + \ldots + 1000^2) = 100^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2).
\]
Biết rằng:
\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2 = 385.
\]
Do đó:
\[
E = 100^2 \cdot 385 = 10000 \cdot 385 = 3850000.
\]

Vậy, giá trị của \( E \) là 3850000.