Để chứng minh bất đẳng thức \( \sqrt{a} + \sqrt{a+2} < 2\sqrt{a+1} \) với mọi \( a > 0 \), chúng ta sẽ bình phương cả hai bên của bất đẳng thức. Lưu ý rằng bình phương là một phép biến đổi an toàn khi cả hai biểu thức đều dương.

Bắt đầu bằng cách bình phương cả hai vế:

\[
(\sqrt{a} + \sqrt{a+2})^2 < (2\sqrt{a+1})^2
\]

Khi bình phương, ta có:

\[
(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{a+2} + (\sqrt{a+2})^2 < 4(a + 1)
\]

Đơn giản hóa các biểu thức:

\[
a + 2\sqrt{a}\sqrt{a+2} + (a + 2) < 4a + 4
\]

Từ đó ta có:

\[
2\sqrt{a}\sqrt{a+2} + 2 < 3a + 4
\]

Đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[
2\sqrt{a}\sqrt{a+2} < 3a + 4 - 2
\]

\[
2\sqrt{a}\sqrt{a+2} < 3a + 2
\]

Chia cả hai bên cho 2:

\[
\sqrt{a}\sqrt{a+2} < \frac{3a + 2}{2}
\]

Bình phương tiếp tục:

\[
a(a + 2) < \left(\frac{3a + 2}{2}\right)^2
\]

Giải thích biểu thức bên phải:

\[
a^2 + 2a < \frac{(3a + 2)^2}{4}
\]

\[
a^2 + 2a < \frac{9a^2 + 12a + 4}{4}
\]

Nhân cả hai bên với 4 để loại bỏ mẫu số:

\[
4a^2 + 8a < 9a^2 + 12a + 4
\]

Đưa tất cả các hạng tử về bên trái:

\[
4a^2 + 8a - 9a^2 - 12a - 4 < 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
-5a^2 - 4a - 4 < 0
\]

Nhân với -1 nhào đổi dấu bất đẳng thức:

\[
5a^2 + 4a + 4 > 0
\]

Kết luận: Biểu thức đa thức \( 5a^2 + 4a + 4 \) luôn lớn hơn 0 với mọi \( a > 0 \) vì nó là một parabol hướng lên và có nghiệm phân biệt.

Do đó, bất đẳng thức \( \sqrt{a} + \sqrt{a + 2} < 2\sqrt{a + 1} \) đúng với mọi \( a > 0 \).