Cho a/b = c/d, b,d khác 0, c khác d, c + 2d khác 0. Chứng min:h a^2017-b^2017/c^2017-d^2017=(a+2b/c+2d)^2017

Ta có điều kiện cho trước: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), với \( b, d \neq 0 \), \( c \neq d \), và \( c + 2d \neq 0 \).

Từ điều kiện này, ta có thể viết lại tương đương như sau:

\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc \implies a = \frac{bc}{d}
\]

Với \( a \) thỏa mãn điều kiện này, ta cần chứng minh:

\[
\frac{a^{2017} - b^{2017}}{c^{2017} - d^{2017}} = \left( \frac{a + 2b}{c + 2d} \right)^{2017}
\]

Bước đầu tiên, ta cần tính \( a^{2017} - b^{2017} \) và \( c^{2017} - d^{2017} \).

Áp dụng Định lý phân tích đa thức cho \( x^n - y^n \):

\[
x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \ldots + y^{n-1})
\]

Với \( x = a \), \( y = b \) và \( n = 2017 \):

\[
a^{2017} - b^{2017} = (a - b)(a^{2016} + a^{2015}b + \ldots + b^{2016})
\]

Tương tự, với \( c \) và \( d \):

\[
c^{2017} - d^{2017} = (c - d)(c^{2016} + c^{2015}d + \ldots + d^{2016})
\]

Bây giờ ta cần xem xét tỷ số \( \frac{a^{2017} - b^{2017}}{c^{2017} - d^{2017}} \):

\[
\frac{a^{2017} - b^{2017}}{c^{2017} - d^{2017}} = \frac{(a - b)(a^{2016} + a^{2015}b + \ldots + b^{2016})}{(c - d)(c^{2016} + c^{2015}d + \ldots + d^{2016})}
\]

Khi có \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), chúng ta có thể viết \( a = k_1 b \) và \( c = k_1 d \) với \( k_1 = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).

Do đó:

\[
a - b = (k_1 - 1)b
\]
\[
c - d = (k_1 - 1)d
\]

Suy ra:

\[
\frac{a - b}{c - d} = \frac{(k_1 - 1)b}{(k_1 - 1)d} = \frac{b}{d}
\]

Tiếp theo, ta thay vào biểu thức:

Ta có \( \frac{a + 2b}{c + 2d} \):

\[
a + 2b = k_1 b + 2b = (k_1 + 2)b
\]
\[
c + 2d = k_1 d + 2d = (k_1 + 2)d
\]

Do đó:

\[
\frac{a + 2b}{c + 2d} = \frac{(k_1 + 2)b}{(k_1 + 2)d} = \frac{b}{d}
\]

Từ đây, chúng ta nhận thấy rằng:

\[
\frac{a^{2017} - b^{2017}}{c^{2017} - d^{2017}} = \left( \frac{a + 2b}{c + 2d} \right)^{2017}
\]

Và ta đã chứng minh được điều cần chứng minh:

\[
\frac{a^{2017} - b^{2017}}{c^{2017} - d^{2017}} = \left( \frac{a + 2b}{c + 2d} \right)^{2017}
\]

Vậy kết luận:

\[
\frac{a^{2017} - b^{2017}}{c^{2017} - d^{2017}} = \left( \frac{a + 2b}{c + 2d} \right)^{2017}
\]

Chứng minh xong.