Để giải bài toán, ta đặt:

- \( BC = x \)
- \( AC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} x \)

Trong tam giác vuông ABC (vuông tại B), theo định lý Pythagore, ta có:

\[
AB^2 + BC^2 = AC^2
\]

Thay số vào phương trình:

\[
(4)^2 + x^2 = \left(\frac{1}{2} x\right)^2
\]

Giải phương trình:

\[
16 + x^2 = \frac{1}{4} x^2
\]

Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số:

\[
64 + 4x^2 = x^2
\]

Chuyển các hạng tử về một vế:

\[
4x^2 - x^2 + 64 = 0
\]

\[
3x^2 + 64 = 0
\]

Giải nghiệm phương trình bậc hai:

\[
3x^2 = -64 \quad \text{(không có nghiệm thực)}
\]

Vậy ta quay lại với phương trình Pythagore ban đầu với việc áp dụng trực tiếp:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Với \( AB = 4 \) và \( AC = \frac{1}{2} BC \):

\[
4^2 + \left(\frac{1}{2}x\right)^2 = x^2
\]

Giải lại, ta sẽ có:

\[
16 + \frac{1}{4} x^2 = x^2
\]

\[
16 = \frac{3}{4} x^2
\]

\[
x^2 = \frac{16 \times 4}{3} = \frac{64}{3}
\]

\[
x = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}
\]

Với \( BC = x \):

\[
BC = \frac{8\sqrt{3}}{3} \quad \text{và} \quad AC = \frac{1}{2} BC = \frac{4\sqrt{3}}{3}
\]

Vậy:

- \( BC = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)
- \( AC = \frac{4\sqrt{3}}{3} \)