Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

**a)** Biểu thức \( A = \frac{3}{x^2 + 6x + 13} \)

1. Đầu tiên, tìm cực trị của mẫu số \( x^2 + 6x + 13 \).
2. Đặt \( f(x) = x^2 + 6x + 13 \).
3. Tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu:
\[
f'(x) = 2x + 6
\]
Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3
\]
4. Tính giá trị \( f(-3) \):
\[
f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4
\]
5. Do đó, \( f(x) \geq 4 \) với mọi \( x \). Vậy:
\[
A \leq \frac{3}{4}
\]
Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( \frac{3}{4} \) khi \( x = -3 \).

---

**b)** Biểu thức \( B = \frac{3x^2 - 2x + 3}{x^2 + 1} \)

1. Chia mẫu số cho từng thành phần:
\[
B = 3 - \frac{2x - 3}{x^2 + 1}
\]
2. Tìm giá trị lớn nhất của \( \frac{2x - 3}{x^2 + 1} \).
3. Đặt \( g(x) = 2x - 3 \) và \( h(x) = x^2 + 1 \).
4. Tính đạo hàm:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}
\]
Trong đó, \( g'(x) = 2 \) và \( h'(x) = 2x \).

Thay vào, ta có:
\[
\text{Đạo hàm} = \frac{2(x^2 + 1) - (2x - 3)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
\]
5. Giải phương trình này để tìm các điểm cực trị, sau đó tính giá trị của \( B \).

Bằng cách này, ta có thể xác định tối ưu \( B \) và tìm giá trị lớn nhất cuối cùng.

Cần thực hiện các phép tính cụ thể để xác nhận giá trị tối ưu trong từng trường hợp.