Để xét biểu thức \( P \) được cho, ta sẽ thực hiện từng phần như câu hỏi đã nêu.

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức \( P \) được cho là:

\[
P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x+1} \right)
\]

Để rút gọn, ta cần tính từng phần một.

1. **Tính phần tử thứ nhất:**

\[
\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1}
\]

Gọi \( A = x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1 \).

2. **Tính phần tử thứ hai:**

\[
-\frac{1}{\sqrt{x} - 1}
\]

Đưa mẫu số về chung, từ đó có thể rút gọn.

3. **Sau khi rút gọn 2 phần này, ta sẽ có dạng**:
\[
\text{result} = \frac{B}{A}
\]
với \( B \) là phần tử rút gọn từ thực hiện phép cộng.

4. **Tính phần chia:**

Phần chia của biểu thức:

\[
1 + \frac{\sqrt{x}}{x+1}
\]

Đưa về mẫu số chung và rút gọn.

Sau khi thực hiện đầy đủ các bước trên, ta sẽ có dạng rút gọn cho \( P \).

### b) Tìm \( x \) để \( P \leq 0 \)

Sau khi có biểu thức \( P \) dưới dạng rút gọn, ta sẽ cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P \leq 0 \).

1. **Giải bất phương trình:**
\[
P \leq 0
\]

2. **Xác định dấu của từng phần:**
- Xác định các giá trị của \( x \) mà làm cho mẫu số lớn hơn hoặc bằng 0.
- Sử dụng phương pháp phân tích hoặc bất đẳng thức để giải.

3. **Kết luận về các giá trị của \( x \):** Chúng ta sẽ có được tập hợp nghiệm cho bất phương trình đó.

Để có được kết quả cuối cùng, bạn cần hoàn thiện phần tính toán từng bước theo hướng dẫn.