Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh: ∆NAB vuông tại N.

1. **Cách tiếp cận hình học**:
- Điểm N nằm ngoài đường tròn (O). Hai tiếp tuyến NA và NB vẽ từ N đến đường tròn (O) sẽ cắt nhau tại N.
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó.
- Gọi điểm tiếp xúc của tiếp tuyến NA với đường tròn là A, và điểm tiếp xúc của NB là B.
- Do đó, ∠ANB = 90° (bởi NA ⊥ OA và NB ⊥ OB).

### b) Chứng minh: K là trung điểm của đoạn PQ.

1. **Xét vị trí của K**:
- K là giao điểm của đoạn thẳng ON và đường tròn (O).
- PQ là một đoạn thẳng tiếp xúc với đường tròn tại K.
- Do tiếp tuyến tại K, ta biết rằng OK ⊥ PQ.

2. **Xét tính chất**:
- Nếu ON cắt PQ tại K và OK vuông góc với PQ, ta có thể suy ra rằng K chia PQ thành hai đoạn bằng nhau.
- Vậy, K là trung điểm của đoạn PQ.

### c) Chứng minh: ∆OKP = ∆OAN và tính độ dài của PQ.

1. **Chứng minh hai tam giác bằng nhau**:
- ∆OKP gồm các điểm O, K, P, còn ∆OAN gồm các điểm O, A, N.
- Ta có:
- OA = OB (bằng nhau vì A và B là hai điểm tiếp xúc với đường tròn).
- OK là đường thẳng vuông góc với PQ (vừa chứng minh).
- AN và KP cũng là các đoạn vuông góc với nhau.

2. **Tính độ dài của PQ**:
- Sử dụng công thức trong tam giác, từ độ dài của các đoạn trên để tính PQ.

Tóm lại, dựa vào các tính chất hình học của tiếp tuyến và đường tròn, ta đã chứng minh được các phần theo yêu cầu của bài toán.