Để tìm giá trị của \( m \) sao cho điểm \( A(x, y) \) nằm trên đường thẳng \( x + 2y = 3 \) và cũng như để đảm bảo hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

\[
\begin{cases}
3x + 2y = 4 \\
2x - y = m
\end{cases}
\]

ta cần xét sự tương quan giữa hai đường thẳng đại diện cho hai phương trình trên.

### Bước 1: Điểm A(x, y) nằm trên đường thẳng x + 2y = 3
Điều này có nghĩa là \( x + 2y = 3 \).

### Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng không song song, tức là hệ số góc của chúng phải khác nhau.

1. Phương trình \( 3x + 2y = 4 \) có dạng tuyến tính:
- Ta chuyển đổi về dạng \( y = mx + b \):
\[
2y = -3x + 4 \implies y = -\frac{3}{2}x + 2
\]
- Hệ số góc \( k_1 = -\frac{3}{2} \).

2. Phương trình \( 2x - y = m \) cũng chuyển về dạng tương tự:
\[
y = 2x - m
\]
- Hệ số góc \( k_2 = 2 \).

### Bước 3: Khẳng định điều kiện không song song:
Để hai đường thẳng không song song, cần có:
\[
-\frac{3}{2} \neq 2
\]
Điều này luôn đúng, nghĩa là hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

### Bước 4: Thay \( y \) vào phương trình
Từ phương trình \( x + 2y = 3 \), ta có:
\[
y = \frac{3 - x}{2}
\]
Thay vào phương trình thứ nhất \( 3x + 2y = 4 \):
\[
3x + 2\left(\frac{3-x}{2}\right) = 4
\]
Rút gọn ta được:
\[
3x + (3 - x) = 4 \implies 2x + 3 = 4 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]
Tính \( y \):
\[
y = \frac{3 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4}
\]

### Bước 5: Tính giá trị m
Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình thứ hai để tìm \( m \):
\[
2\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{5}{4} = m \implies 1 - \frac{5}{4} = m \implies m = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}
\]

### Kết luận:
Giá trị của \( m \) để \( A(x, y) \) nằm trên đường thẳng \( x + 2y = 3 \) là:
\[
\boxed{-\frac{1}{4}}
\]