Để tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc nhọn \( \alpha \), ta sử dụng các định nghĩa về tỉ số lượng giác cơ bản.

1. **Tỉ số lượng giác cơ bản**:
\[
\sin \alpha = \frac{5}{13}
\]
\[
\cos \alpha = \frac{2}{3}
\]

Tuy nhiên, giá trị của sinus và cosinus trong cùng một góc không thể đồng thời đúng được, vì chúng vi phạm định lý Pythagore (tức là \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)).

Ta cần xác nhận lại một trong hai kết quả, hoặc chúng là tổng hợp tỉ số từ một hình học cụ thể. Do đó, tỉ số \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) sẽ được tính như sau:

2. **Kiểm tra tỉ số:**
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{25}{169} + \frac{4}{9}
\]

Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu:
- Mẫu chung của 169 và 9 là 1521.
- Quy đồng \( \frac{25}{169} \):
\[
\frac{25}{169} = \frac{25 \times 9}{169 \times 9} = \frac{225}{1521}
\]
- Quy đồng \( \frac{4}{9} \):
\[
\frac{4}{9} = \frac{4 \times 169}{9 \times 169} = \frac{676}{1521}
\]

Bây giờ, ta cộng hai phân số:
\[
\frac{225}{1521} + \frac{676}{1521} = \frac{901}{1521}
\]

Kiểm tra tính đúng đắn của chúng:
\[
\frac{901}{1521} \neq 1
\]

Vì vậy, lưu ý rằng có sự nhầm lẫn trong các giá trị này. Hãy sử dụng lại giá trị đúng cho một trong hai để tính tiếp tỉ số lượng giác còn lại.

3. **Tính các tỉ số lượng giác khác**:

Giả sử \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) là đúng.
Ta sẽ tính:
- \( \cos \alpha \):
\[
\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}
\]

- **Tangent (tan)**:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}
\]

- **Cotangent (cotan)**:
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{12}{5}
\]

- **Secant (sec)**:
\[
\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{13}{12}
\]

- **Cosecant (cosec)**:
\[
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{13}{5}
\]

**Tóm lại**, các tỉ số lượng giác của góc nhọn \( \alpha \) khi \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) là:
- \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \)
- \( \tan \alpha = \frac{5}{12} \)
- \( \cot \alpha = \frac{12}{5} \)
- \( \sec \alpha = \frac{13}{12} \)
- \( \csc \alpha = \frac{13}{5} \)

Hy vọng thông tin này hữu ích!