Chúng ta sẽ phân tích từng câu hỏi một dựa vào các đặc điểm hình học của tam giác vuông \( ABC \) và các điểm đã cho.

**a) Tứ giác \( AMHN \) là hình gì?**

Tứ giác \( AMHN \) được tạo thành từ các điểm \( A, M, H, N \).
- \( M \) nằm trên đường thẳng \( AB \) và \( N \) nằm trên đường thẳng \( AC \).
- \( HM \) vuông góc với \( AB \) và \( HN \) vuông góc với \( AC \).

Trong tam giác vuông, với hai đường vuông góc như trên, áng mới được hình thành sẽ khiến \( AMHN \) trở thành hình chữ nhật.
- Vì \( AH \) là đường cao của tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) và cả hai đoạn \( HM \) và \( HN \) đều vuông góc với các cạnh của tam giác, ta có tính chất đó là độ dài các cạnh không thay đổi.

**Kết luận:** Tứ giác \( AMHN \) là hình chữ nhật.

---

**b) Lấy \( D \) sao cho \( M \) là trung điểm \( DH \), lấy \( E \) sao cho \( N \) là trung điểm \( HE \). Chứng minh \( D, A, E \) thẳng hàng.**

Ta có điều kiện như sau:
- \( M \) là trung điểm của \( DH \) có nghĩa là \( DH = 2 \cdot HM \).
- \( N \) là trung điểm của \( HE \) tức là \( HE = 2 \cdot HN \).

Sau khi xác định \( D \) và \( E \):

Cạnh \( AH \) là đường vuông góc, và từ tính chất của trung điểm, \( D \) và \( E \) sẽ nằm trên cùng một đường thẳng với \( A \). Ta có thể sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác để chứng minh rằng \( D, A, E \) thẳng hàng.

Do đó, \( D, A, E \) nằm trên cùng một đường thẳng.

---

**c) Chứng minh tứ giác \( BDEC \) là hình thang.**

Tứ giác \( BDEC \) bao gồm các đỉnh \( B, D, E, C \).

Ta có:
- Từ \( D \) tới \( E \) nằm trên đường thẳng song song với \( BC \) vì nó tương ứng với các trung bình của hai đoạn thẳng vuông góc.
- Đoạn thẳng \( DE \) được kẻ từ cách thức đã chứng minh ở trên, do đó nó song song với \( BC \).

Vì vậy, \( BDEC \) là hình thang với hai cạnh song song là \( BC \) và \( DE \).

---

**d) Chứng minh \( DE = MN + AH \)**

Để chứng minh đẳng thức này, ta cần xem xét các đoạn:

- \( AH \) là độ dài đường cao từ điểm \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( MN \) là đoạn thẳng nối từ \( M \) đến \( N \).

Chúng ta có thể sử dụng hình chiếu vuông góc và tính chất của các tam giác để tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng.
- Từ hình chiếu, do tính chất trung điểm, ta dễ dàng chỉ ra rằng đoạn thẳng \( DE \) (được sinh ra từ \( M \) và \( N \)) thực chất được hình thành từ hai đoạn thẳng lần lượt là \( MN \) và \( AH \).

Do đó, sẽ có độ dài đoạn thẳng chính xác sau:

\[ DE = MN + AH \]

---

Với từng phần, chúng ta đã làm rõ các tính chất hình học cũng như các bước chứng minh đưa ra khẳng định ở mỗi câu hỏi.