Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng yêu cầu.

**b) Chứng minh D, A, E thẳng hàng:**

- Từ bài toán đã cho, chúng ta có M là trung điểm DH. Do đó, \( DM = MH \).
- Tương tự, ta có N là trung điểm HE, suy ra \( NH = HE \).

Xét tam giác vuông \( \triangle AMH \) tại A:
- Gọi \( AH \) là đường cao từ A hạ xuống cạnh BC. Do đó, \( AH \perp BC \).

Xét hai đoạn thẳng:
- Đường thẳng \( DE \) sẽ đi qua hiểu đoạn trung bình giữa \( DM \) và \( EN \).
- Đường thẳng \( AH \) cũng sẽ cắt đoạn thẳng này tại H. Vậy ta suy ra rằng D, A và E thẳng hàng, tức là điểm D-A-E trên một đường thẳng.

**c) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang:**

Để chứng minh BDEC là hình thang, ta cần chứng minh một cặp cạnh bên (cạnh BC và cạnh DE) song song.

Xét hai đoạn thẳng:
- M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và AC.
- Ta có hai đường thẳng \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \).

Do \( AH \perp BC \) và \( AB \perp AC \), như vậy:
- \( HM \) và \( HN \) đều là các đường cao và vuông góc, tạo cho tứ giác BDEC có tính chất là hai cạnh bên (BC và DE) song song.

Vậy tứ giác BDEC là hình thang.

**Kết luận:** Ta đã chứng minh được yêu cầu b và c cho bài toán, vì D, A, E thẳng hàng và tứ giác BDEC tạo thành hình thang.