Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh √5. Tính sin góc giữa B'D và A'BC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xác định các tọa độ của các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh dài \(\sqrt{5}\).

Giả sử hình lập phương được định nghĩa như sau:

- A(0, 0, 0)
- B(\(\sqrt{5}, 0, 0\))
- C(\(\sqrt{5}, \sqrt{5}, 0\))
- D(0, \(\sqrt{5}, 0\))
- A'(0, 0, \(\sqrt{5}\))
- B'(\(\sqrt{5}, 0, \(\sqrt{5}\))
- C'(\(\sqrt{5}, \sqrt{5}, \(\sqrt{5}\))
- D'(0, \(\sqrt{5}, \(\sqrt{5}\))

**Bước 1: Tìm vector B'D và vector A'BC.**

- Tọa độ của B' là \((\sqrt{5}, 0, \sqrt{5})\)
- Tọa độ của D là \((0, \sqrt{5}, 0)\)
- Tọa độ của A' là \((0, 0, \sqrt{5})\)
- Tọa độ của B là \((\sqrt{5}, 0, 0)\)
- Tọa độ của C là \((\sqrt{5}, \sqrt{5}, 0)\)

**Vector B'D:**

\[
\overrightarrow{B'D} = D - B' = (0 - \sqrt{5}, \sqrt{5} - 0, 0 - \sqrt{5}) = (-\sqrt{5}, \sqrt{5}, -\sqrt{5})
\]

**Vector A'B và A'C:**

\[
\overrightarrow{A'B} = B - A' = (\sqrt{5} - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{5}) = (\sqrt{5}, 0, -\sqrt{5})
\]

\[
\overrightarrow{A'C} = C - A' = (\sqrt{5} - 0, \sqrt{5} - 0, 0 - \sqrt{5}) = (\sqrt{5}, \sqrt{5}, -\sqrt{5})
\]

**Vector A'BC:**

Chúng ta dùng tích có hướng để tìm vector này:

\[
\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\sqrt{5} & 0 & -\sqrt{5} \\
\sqrt{5} & \sqrt{5} & -\sqrt{5}
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C} = \hat{i}(0 - (-\sqrt{5} \cdot \sqrt{5})) - \hat{j}(\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) - (-\sqrt{5} \cdot \sqrt{5})) + \hat{k}(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 0)
\]
\[
= \hat{i}(5) - \hat{j}(-5 + 5) + \hat{k}(5) = 5\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}
\]
\[
= (5, 0, 5)
\]

**Bước 2: Tính độ dài các vector:**

- Độ dài của \(\overrightarrow{B'D}\):

\[
|\overrightarrow{B'D}| = \sqrt{(-\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 5 + 5} = \sqrt{15}
\]

- Độ dài của vector A'BC:

\[
|\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 0 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]

**Bước 3: Tính sin của góc giữa B'D và A'BC:**

\[
\sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{B'D} \times (\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C})|}{|\overrightarrow{B'D}| \cdot |\overrightarrow{ABC}|}
\]

Tính tích có hướng giữa hai vector.

Bây giờ chúng ta tìm α, với:

\[
\theta = \arcsin\left(\frac{|\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C}|}{|\overrightarrow{B'D}|}\right)
\]

Cuối cùng, ta thay các giá trị tính được vào công thức:

\[
\sin \theta = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{15} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{50}}{5(\sqrt{15})(\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{50}}{5\sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{6}}
\]

Từ đó, ta có:

\(\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}\) sau khi đơn giản hóa.

Đó là câu trả lời cho bài toán góc giữa \(\overrightarrow{B'D}\) và mặt phẳng \(A'BC\) là \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).