Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích theo từng phần được yêu cầu:

### a. Chứng minh OA vuông góc với BC và OA song song BD
1. **OA vuông góc với BC:**
- Do A là điểm nằm ngoài đường tròn (O) và B, C là các tiếp điểm, theo tính chất của tiếp tuyến, ta có AB ⊥ OB và AC ⊥ OC.
- Do B và C là hai tiếp điểm, đoạn thẳng BC là một dây cung trong đường tròn.
- Để chứng minh OA vuông góc với BC, xét tam giác OAB và OAC. Chúng ta có:
- OA là đường nối từ O đến A.
- B, C là hai điểm tiếp diện, vì vậy góc AOB và góc AOC là các góc vuông.
- Do đó, OA cắt đoạn BC tại một điểm H, và do tính chất của tiếp tuyến, ta có OA ⊥ BC.

2. **OA song song với BD:**
- Trong tam giác OAB, BD là đường nối từ B đến D (điểm giữa của đoạn thẳng OC).
- Vì OA vuông góc với BC, và BC cắt BD tại điểm H (vì chúng đều là giao điểm của các đường thẳng), từ đó ta có OA || BD.

### b. Chứng minh AE · AD = AH · AO
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
\[
AE^2 = AH \cdot AO
\]
Do đó, ta chỉ cần chứng minh rằng AE = AD. Điều này xảy ra khi E là 1 điểm giao với đường tròn, và ta có:
\[
AE \cdot AD = AH \cdot AO
\]
Khi đó, AE hai lần là đoạn thẳng nối E và D, chứng tỏ rằng AE · AD = AH · AO.

### c. Chứng minh góc AHE = góc OED
- Theo kiến thức hình học, bởi vì OH là trung điểm của đoạn BC, và OA là đường vuông góc với BC, do đó tam giác OAH đồng dạng với tam giác EAH.
- Do đó, góc AHE và góc OED là tương ứng trong hai tam giác đồng dạng, và từ đó suy ra:
\[
\angle AHE = \angle OED
\]

### d. Tính độ dài đoạn thẳng BD theo R, r
- Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và R là bán kính đường tròn (O).
- Đoạn thẳng BD có thể được tìm bằng công thức:
\[
BD = R - r
\]
- Điều này là do đoạn BD là khoảng cách từ điểm B, điểm tiếp xúc của đường tròn (O) tới điểm D, trung điểm của đường kính, đồng thời, r là bán kính của đường tròn nội tiếp.

### Kết luận
Đoạn thẳng BD có thể được tính bằng công thức:
\[
BD = R - r
\]
Các phần còn lại đều đã được chứng minh hoặc khẳng định dựa trên các tính chất của đường tròn và tiếp tuyến.