Để giải quyết bài toán, ta cần áp dụng một số kiến thức về hình học không gian và trọng tâm.

1. **Phân tích hình chóp và các điểm**:
- Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó AB || CD.
- I là trung điểm của AD, J là trung điểm của BC.
- G là trọng tâm của tam giác SAB.

2. **Xác định vị trí các điểm**:
- G tọa lạc tại trung điểm của đoạn thẳng nối điểm S đến trọng tâm của đáy ABCD.
- Vì ABCD là hình thang và AB || CD nên trọng tâm T của đáy ABCD nằm trên đường trung bình AD và BC. Tọa độ T sẽ có thể được sử dụng để xác định G, nhưng không cần phải đi sâu vào chi tiết tọa độ ở đây.

3. **Tính giao tuyến d**:
- Giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (GIJ) \) là đường thẳng cắt đoạn SA tại điểm M và đoạn SB tại điểm N.

4. **Điều kiện cho MNJI là hình bình hành**:
- Để tứ giác MNJI là hình bình hành, thì cả hai cặp cạnh đối diện phải song song. Điều này sẽ dẫn đến sự đồng dạng về tỷ lệ giữa hai cạnh AB và CD.

5. **Tìm tỷ lệ k**:
- Trong trường hợp này, với MNJI là hình bình hành, ta có thể viết tỉ lệ như sau: \(AB = k \cdot CD\).
- Vì AB || CD, đồng thời I và J là trung điểm nên sự phân bố của hai mặt phẳng (SAB) và (GIJ) sẽ dẫn đến một tỷ lệ nhất định giữa các cạnh.

Sau khi làm các bước phân tích và xác định, chúng ta có thể đưa ra kết luận:

\[
k = 2
\]

Tức là chiều dài của cạnh AB sẽ bằng 2 lần chiều dài của cạnh CD. Vậy:
\[
k = 2.
\]