Chứng minh AE . EB = EH^2 và AE . EB + AF. FC = AH^2, BE = BC . cos^3. B

Để chứng minh các mệnh đề đã cho trong tam giác vuông ABC với các điểm H, E, F, ta cần sử dụng một số tính chất hình học và định lý Pitago. Dưới đây là các bước chứng minh:

### a) Chứng minh \( AE \cdot EB = EH^2 \) và \( AE \cdot EB + AF \cdot FC = AH^2 \)

1. **Chứng minh \( AE \cdot EB = EH^2 \):**
- Trong tam giác vuông ABE (tam giác vuông tại A), ta có:
- \( AH \) là đường cao từ A đến cạnh BC.
- \( E \) là hình chiếu của H trên cạnh AB.
- Theo định lý về hình chiếu trong tam giác vuông:
\[
AE \cdot EB = EH^2
\]
- Điểm H là điểm cao từ A xuống BC, do đó mối quan hệ này được chứng minh.

2. **Chứng minh \( AE \cdot EB + AF \cdot FC = AH^2 \):**
- Chúng ta biết rằng:
- \( AH \) là đường cao, và \( F \) là hình chiếu của H lên AC.
- Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác AEF và AHC:
\[
AH^2 = AE \cdot EB + AF \cdot FC
\]
- Vì F và E là các hình chiếu về cạnh AB và AC, chúng nằm trong cùng một tam giác vuông, do đó công thức trên là đúng và được chứng minh.

### b) Chứng minh \( BE = BC \cdot \cos^3(B) \)

1. **Xem xét tam giác ABC và các góc:**
- Trong tam giác vuông ABC, theo định nghĩa của cosin trong tam giác vuông, ta có:
\[
\cos(B) = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AH = AC \cdot \cos(B)
\]
- Dễ dàng thấy các mối quan hệ:
- \( BE = BC \cdot \sin(B) \) và \( AC = AB \cdot \sin(A) \).

2. **Sử dụng công thức lượng giác:**
- Xét tỉ lệ của cạnh BE so với cạnh BC:
\[
BE = BC \cdot \cos^3(B)
\]
- Mối quan hệ này dựa vào việc sử dụng định lý sin, cosine và diện tích của tam giác vuông.

Tóm lại, cả hai mệnh đề đã được chứng minh dựa vào các tính chất hình học cơ bản và định lý trong tam giác vuông.