Để chứng minh tứ giác \( BCDE \) là hình bình hành, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

Ký hiệu:
- Gọi \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \) là các điểm trên mặt phẳng.
- Từ giả thiết, ta có \( AD = AB \) và \( AE = AC \).

1. **Xét các vectơ**:
- Gọi vector \( \vec{AB} = \vec{b} \) và vector \( \vec{AC} = \vec{c} \).
- Từ đó, ta có thể viết:
- \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{b} \) (vì \( D \) nằm trên tia đối của \( AB \) và \( AD = AB = |\vec{b}| \))
- \( \vec{E} = \vec{A} - \vec{c} \) (vì \( E \) nằm trên tia đối của \( AC \) và \( AE = AC = |\vec{c}| \))

2. **Tính các vector cạnh**:
- Tính vector cạnh \( \vec{BC} \):
\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \vec{A} + \vec{c} - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{c} - \vec{b}
\]
- Tính vector cạnh \( \vec{DE} \):
\[
\vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (\vec{A} - \vec{c}) - (\vec{A} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{c}
\]

3. **So sánh độ dài của các cạnh**:
- Khi đó, ta thấy rằng:
\[
\vec{DE} = -(\vec{BC})
\]
Điều này có nghĩa là \( DE \) và \( BC \) là cùng độ dài và hướng ngược nhau.

4. **Kiểm tra cặp cạnh còn lại**:
- Tính vector cạnh \( \vec{CD} \):
\[
\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = \left(\vec{A} - \vec{b}\right) - \left(\vec{A} + \vec{c}\right) = -\vec{b} - \vec{c}
\]
- Tính vector cạnh \( \vec{AB} \):
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \vec{b}
\]

5. **Kết luận**:
- Từ trên ta có thể thấy:
\[
\vec{CD} = -(\vec{AB})
\]
Điều này cho thấy \( CD \) và \( AB \) cũng có cùng độ dài và hướng ngược nhau.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( BC \parallel DE \) và \( CD \parallel AB \) với độ dài bằng nhau. Vậy tứ giác \( BCDE \) là hình bình hành.

Điều phải chứng minh đã hoàn thành.