Để phân tích đa thức \( M = (x^2 + x + 1)(x^2 + 3x + 1) + x^2 \) thành nhân tử, ta thực hiện các bước sau:

1. **Mở rộng biểu thức**:

Tính tích của hai đa thức:
\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + 3x + 1)
\]
Bằng cách áp dụng quy tắc phân phối, ta có:
- \( x^2 \cdot (x^2 + 3x + 1) = x^4 + 3x^3 + x^2 \)
- \( x \cdot (x^2 + 3x + 1) = x^3 + 3x^2 + x \)
- \( 1 \cdot (x^2 + 3x + 1) = x^2 + 3x + 1 \)

Cộng tất cả lại, ta được:
\[
M = x^4 + 3x^3 + x^2 + x^3 + 3x^2 + x + x^2 + 3x + 1
\]

Kết hợp các hạng tử:
\[
M = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 4x + 1
\]

2. **Cộng thêm \( x^2 \)**:
\[
M = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
\]

3. **Phân tích đa thức**:

Nhận thấy rằng \( M \) có dạng như một số mẫu đã biết, ta có thể thử xét đến việc phân tích:

\[
M = (x^2 + 2x + 1)^2 = (x + 1)^4
\]

Thực hiện kiểm tra tổng quát:
\[
(x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
\]

Kết quả hoàn toàn khớp với \( M \).

Vậy, đa thức \( M \) phân tích được thành nhân tử như sau:
\[
M = (x + 1)^4
\]