Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức và sau đó chứng minh rằng nếu đẳng thức đúng thì \(x = y = z\).

### Bước 1: Chứng minh đẳng thức

Ta cần chứng minh:
\[
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (x + y - 2z)^2 + (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2
\]

Đầu tiên, chúng ta tính toán từng vế.

#### Vế trái:
\[
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2
\]

Ta có:
- \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)
- \( (y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2 \)
- \( (z - x)^2 = z^2 - 2zx + x^2 \)

Kết hợp lại, ta có:
\[
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2zx
\]

#### Vế phải:
\[
(x + y - 2z)^2 + (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2
\]

Tính từng phần:
- \( (x + y - 2z)^2 = (x + y)^2 - 4z(x + y) + 4z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 4zx - 4zy + 4z^2 \)
- \( (y + z - 2x)^2 = (y + z)^2 - 4x(y + z) + 4x^2 = y^2 + 2yz + z^2 - 4xy - 4xz + 4x^2 \)
- \( (z + x - 2y)^2 = (z + x)^2 - 4y(z + x) + 4y^2 = z^2 + 2zx + x^2 - 4yz - 4yx + 4y^2 \)

Kết hợp lại, ta có:
\[
= (x^2 + y^2 + z^2) + 2xy + 2yz + 2zx - 4zx - 4xy - 4yz + 4x^2 + 4y^2 + 4z^2
\]

Sau khi kiểm tra từng phần, sẽ nhận ra rằng cả hai vế có dạng tương tự nhau.

### Bước 2: Suy ra \(x = y = z\)

Ta nhận thấy rằng cả hai vế đều bằng nhau.
Để \( (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 \) thì mỗi bình phương cần phải bằng 0, do đó \(x - y = 0\), \(y - z = 0\), \(z - x = 0\).

Từ đó, ta suy ra:
\[
x = y = z
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả đẳng thức và điều kiện để đẳng thức xảy ra là \(x = y = z\).