Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng câu hỏi.

### a) Chứng minh: \( BN = DM \)

Gọi \( AB \) và \( CD \) là hai cạnh song song của hình bình hành \( ABCD \).

- \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).
- Theo định nghĩa, nếu \( M \) là trung điểm của \( AB \) thì \( AM = MB \).
- Tương tự, \( N \) là trung điểm của \( CD \) nên \( CN = ND \).

Chúng ta có thể xem xét các đoạn thẳng \( BN \) và \( DM \):

- Xét tam giác \( ABD \):
- Xét \( BM \) và \( DN \). Ta có:
\[
BM = \frac{1}{2}AB \quad \text{vì } M \text{ là trung điểm}
\]
\[
DN = \frac{1}{2}CD \quad \text{vì } N \text{ là trung điểm}
\]
- Do \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \) (tính chất của hình bình hành), sử dụng định lý bên trong tam giác (đo chiều dài đoạn thẳng giữa hai trung điểm) thì:
\[
BN = \frac{1}{2}CD \quad \text{ và } \quad DM = \frac{1}{2}AB
\]

Do đó, vì \( AB = CD \) trong hình bình hành, và \( BN = DM \).

### b) Chứng minh: Tứ giác \( AMND \) là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác \( AMND \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và đều bằng nhau.

- Xét cạnh \( AM \) và \( ND \):
- \( AM \) là nửa chiều dài của \( AB \).
- \( ND \) là nửa chiều dài của \( CD \).
- Do \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \), suy ra \( AM \parallel ND \) và \( AM = ND \).

- Xét cạnh \( AN \) và \( MD \):
- \( AN \) và \( MD \) với là trung điểm, sẽ có \( AM = ND \) trong cùng tỷ lệ và cũng song song.

Do vậy, \( AN \parallel MD \) và \( AN = MD \).

Vì vậy, tứ giác \( AMND \) có hai cặp cạnh đối diện đều song song và bằng nhau, nên tứ giác này là hình bình hành.

### c) Chứng minh: Tứ giác \( MBCN \) là hình bình hành

Chúng ta sẽ chứng minh tương tự như trên:

- Xét cạnh \( MB \) và \( CN \):
- Cả hai cạnh này đều là các cạnh nối từ điểm giữa đến các điểm đầu và cuối của cạnh \( AB \) và \( CD \), và theo tính chất hình bình hành \( MB \parallel CN \) và \( MB = CN \).

- Xét cạnh \( BC \) và \( NM \):
- Cạnh \( BC \) là một cạnh của hình bình hành và \( NM \) là đoạn nối giữa hai điểm giữa nên \( BC \parallel NM \) và từ trước đã chứng minh \( BM = CN \).

Do đó, vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( MBCN \) đều song song và bằng nhau, nên tứ giác \( MBCN \) cũng là hình bình hành.

Tóm lại, cả ba phần đã được chứng minh.