Chứng minh rằng giá trị của M luôn dương với mọi giá trị của x, y. Tìm GTNN của M

Để chứng minh rằng giá trị của \( M \) luôn dương với mọi giá trị của \( x, y \), ta có thể sắp xếp lại đa thức \( M \) như sau:

\[
M = (3x^2 - 7x^2) + (5xy + 7xy) + (-3x^2 + 3x^2) + (-7y^2 + 2y^2) + 2023
\]
\[
= -4x^2 + 12xy - 5y^2 + 2023
\]

Để làm cho \( M \) dễ khảo sát hơn, ta thấy rằng \( 2023 \) là một số dương. Ta có thể tìm tối thiểu của phần \( -4x^2 + 12xy - 5y^2 \).

### a) Chứng minh rằng \( M \) luôn dương.

Ta thực hiện phân tích:

\[
-4x^2 + 12xy - 5y^2 = -4 \left( \frac{x^2}{y^2} \cdot y^2 \right) + 12 \left( \frac{x}{y} \cdot y \cdot y \right) - 5y^2
\]

Nếu đặt \( t = \frac{x}{y} \) thì ta có:

\[
M = -4t^2y^2 + 12ty^2 - 5y^2
= y^2(-4t^2 + 12t - 5)
\]

Để đảm bảo \( M \geq 0 \), ta cần chứng minh \( -4t^2 + 12t - 5 \geq -2023 \).

Giải bất phương trình bậc 2:

\[
-4t^2 + 12t - 5 \geq 0
\]

Tính nghiệm của phương trình \( -4t^2 + 12t - 5 = 0 \) bằng công thức nghiệm:

\[
\Delta = 12^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-5) = 144 - 80 = 64
\]

Vậy các nghiệm là:

\[
t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot -4} = \frac{-12 \pm 8}{-8} \Rightarrow t_1 = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{-20}{-8} = \frac{5}{2}
\]

Phân tích dấu của hàm bậc 2 cho thấy:

\[
-4t^2 + 12t - 5 \geq 0 \text{ khi } t \in \left[ \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right]
\]

Vì Vậy

Cho mọi giá trị của \( x, y \neq 0 \), M sẽ luôn dương và giá trị nhỏ nhất của \( M \) đạt được khi \( t = \frac{1}{2} \) hoặc \( t = \frac{5}{2} \).

### b) Tìm GTNN của \( M \)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( -4t^2 + 12t - 5 \):

Giá trị nhỏ nhất khi \( t = \frac{12}{2 \cdot 4} = 1.5 \), cho \( M \):

\[
-4(1.5)^2 + 12(1.5) - 5 = -4 \cdot 2.25 + 18 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( M = 4 + 2023 = 2027 \).

### Kết luận:

\( M \) luôn dương với mọi giá trị của \( x, y \) với giá trị nhỏ nhất là \( 2027 \).