Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh OK // AB và tam giác OAK cân tại K

1. **Chứng minh OK // AB:**
- Do \( A \) là điểm ở ngoài đường tròn \( (O) \) và \( AB \) là tiếp tuyến tại điểm \( B \), tức là \( OA \) vuông góc với \( AB \).
- Từ đó, ta có một đường thẳng đi qua điểm \( O \) và vuông góc với đường thẳng \( OB \). Cái này cũng có thể coi là một đường thẳng đi qua điểm \( O \), cắt đường thẳng \( AC \) tại \( K \).
- Ta có \( OK \) vuông góc với \( OB \), vậy theo tính chất của hai đường thẳng song song, ta có: \( OK \parallel AB \).

2. **Chứng minh tam giác OAK cân tại K:**
- Xét tam giác \( OAK \):
- Ta đã có \( OA = 2R \).
- Vì \( OK \parallel AB \), nên góc \( OAK \) (góc tạo bởi đường thẳng \( OA \) và đường thẳng \( OK \)) bằng góc \( OAB \).
- Với đây là cùng một góc bên trong, nên ta có \( AO = AK \).
- Từ đó, chúng ta đã thấy rằng hai bên \( OA \) và \( OK \) bằng nhau, do vậy ta có tam giác \( OAK \) cân tại \( K \).

### b) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O)

1. **Xét điểm I:**
- Vì \( I \) là giao điểm của \( OA \) với đường tròn \( (O) \), tức là \( OA \) cắt đường tròn tại \( I \).
- Đường thẳng \( KI \) sẽ cắt và đi qua \( I \).

2. **Tính chất tiếp tuyến:**
- Đường thẳng \( KI \) sẽ là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm tiếp xúc \( I \) nếu nó vuông góc với bán kính \( OI \).
- Từ \( O \) đến \( I \), chúng ta đã chứng minh rằng \( OK \) vuông góc với \( OB \).
- Do đó, nếu \( KI \) song song với \( OAB \), và \( OI \) vuông góc tại điểm tiếp xúc \( I \).
- Mặt khác, [KI, OI] không bao giờ cắt nhau vì \( KI \) nằm trên đường thẳng \( AC \) (là điểm không nằm trong đường tròn) và các đặc điểm tính chất của tiếp tuyến đã khẳng định rằng \( KI \) chính là tiếp tuyến tại I.

Kết luận, \( KI \) là tiếp tuyến của \( (O) \).

Đó chính là những bước chứng minh cho yêu cầu của đề bài.