Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta có thể bắt đầu từ những điều kiện đã cho.

### a) Chứng minh AM, BM lần lượt là phân giác của góc A và góc B

1. **Ký hiệu các điểm:**
- Giả sử A(0, 0), D(0, h), C(2a, h), B(2a, 0).
- Theo cho biết, CD = 2AD, tức là độ dài của CD gấp đôi độ dài của AD, và M là trung điểm của CD.

2. **Tính tọa độ của M:**
- Tọa độ điểm C là (2a, h) và D là (0, h).
- Tọa độ trung điểm M của CD là:
\[
M\left(\frac{0 + 2a}{2}, \frac{h + h}{2}\right) = (a, h)
\]

3. **Tính vector AM và BM:**
- Tọa độ của A là (0, 0) và M là (a, h).
- Véc-tơ AM:
\[
\overrightarrow{AM} = M - A = (a - 0, h - 0) = (a, h)
\]
- Tọa độ của B là (2a, 0) và M là (a, h).
- Véc-tơ BM:
\[
\overrightarrow{BM} = M - B = (a - 2a, h - 0) = (-a, h)
\]

4. **Tinh chất góc:**
- Để chứng minh AM và BM là các phân giác của góc A và góc B, ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BA}|}
\]
- Tính độ dài các véc-tơ:
- Độ dài |\overrightarrow{AM}| = \(\sqrt{a^2 + h^2}\)
- Độ dài |\overrightarrow{BM}| = \(\sqrt{(-a)^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}\)
- Độ dài |\overrightarrow{AB}| = \(\sqrt{(2a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2a\)

5. **Tính tỉ số:**
- Tỉ số cho AM và AB:
\[
\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2a}
\]
- Tỉ số cho BM và BA:
\[
\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BA}|} = \frac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2a}
\]
- Như vậy, hai tỉ số này là bằng nhau, kết luận rằng AM là phân giác của góc A và BM là phân giác của góc B.

### b) Chứng minh tam giác AMB vuông

1. **Tính tích vô hướng của AM và BM:**
- Tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (a, h) \cdot (-a, h) = -a^2 + h^2
\]
- Để tam giác AMB vuông tại M, ta cần tích vô hướng này bằng 0:
\[
-a^2 + h^2 = 0 \implies h^2 = a^2 \implies h = a \quad (vì h > 0)
\]
- Như vậy, tam giác AMB có một góc vuông tại M.

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu: AM và BM là phân giác của góc A và góc B, và tam giác AMB vuông.