Để rút gọn biểu thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

\[
\frac{5\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{3\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{x^2 + 2\sqrt{x} + 8}{x - 4}
\]

### Bước 1: Rút gọn hai phân số đầu tiên.

**Phân số thứ nhất**:

\[
\frac{5\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2}
\]

**Phân số thứ hai**:

\[
\frac{3\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}
\]

### Bước 2: Tính toán và kết hợp.

Ta sẽ tìm kiếm cách đơn giản hơn khi cộng các phân số này.

### Bước 3: Biến đổi biểu thức thứ ba.

Cho biểu thức thứ ba:

\[
\frac{x^2 + 2\sqrt{x} + 8}{x - 4}
\]

Bước này có thể tiến hành bằng cách nhóm lại và tìm cách đơn giản hóa.

### Bước 4: Kết hợp và rút gọn biểu thức.

Sau khi hoàn tất ba bước trên, bạn sẽ chỉ cần thực hiện phép cộng hoặc trừ để đạt được kết quả cuối cùng. Bạn có thể sử dụng tính chất của phân số hay chung quy lại là các biểu thức đơn giản hơn.

Để thực hiện từng bước cụ thể có thể yêu cầu tính τ toán và có thể không rút gọn hoàn toàn bằng tay mà bạn cần một số tách từng bước.

**Kết quả cuối cùng** sẽ được hình thành từ biểu thức đã sắp xếp lại để dễ nhìn hơn. Cố gắng tìm ra phần chung giữa các mẫu số và xử lý các phân số một cách phù hợp.

### Ghi chú:
Nếu bạn có số liệu cụ thể cho biến \(x\) hay cần cho giá trị cụ thể, đừng ngần ngại hỏi để có được biểu thức cụ thể nhất.