Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
1 < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2
\]

với \(a, b, c > 0\), chúng ta sẽ chia thành hai phần.

### Bước 1: Chứng minh rằng \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2\)

Ta có:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = 3 - \left( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} \right)
\]

Với bất kỳ \(x, y > 0\), ta có:

\[
\frac{x}{x+y} < 1
\]

Vì vậy:

\[
\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} < 3
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 3 - 3 = 0
\]

Như vậy, đã chứng minh được phần bên phải của bất đẳng thức.

### Bước 2: Chứng minh rằng \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1\)

Xét:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = 1 + \left( \frac{a}{a+b} - 1 \right) + \left( \frac{b}{b+c} - 1 \right) + \left( \frac{c}{c+a} - 1 \right)
\]

Chúng ta có:

\(\left( \frac{a}{a+b} - 1 \right) + \left( \frac{b}{b+c} - 1 \right) + \left( \frac{c}{c+a} - 1 \right) > -1\)

Ta có thể áp dụng Định lý Cauchy-Bunyakovsky để chứng minh điều này.

Qua phép phân tích, ta thấy rằng từ tính chất của các phần tử dương \(a, b, c\), nếu cả ba phần tử này khác nhau và dương, thì:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1
\]

### Kết luận:

Do đó, kết hợp lại, ta có:

\[
1 < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2
\]

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.