Ứng dụng taylor/maclaurin cho hàm số y=(x+3)cos(2x^3), tính đạo hàm y^(12)

Để áp dụng định lý Taylor (hay Maclaurin) cho hàm số \(y = (x + 3) \cos(2x^3)\) và tính đạo hàm bậc 12 tại \(x = 0\), ta thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Tính các đạo hàm và giá trị hàm số tại \(x = 0\)

Trước hết, ta tính giá trị của hàm số tại \(x = 0\):

\[
y(0) = (0 + 3) \cos(2 \cdot 0^3) = 3 \cdot \cos(0) = 3 \cdot 1 = 3
\]

### Bước 2: Tính các đạo hàm đơn giản

Ta sẽ tính một vài đạo hàm đầu tiên của hàm số \(y\). Để làm việc này, có thể thuận tiện khi sử dụng quy tắc sản phẩm.

### Bước 3: Tính \(y'(x)\)

\[
y' = \frac{d}{dx}((x + 3) \cos(2x^3))
\]
Sử dụng quy tắc sản phẩm:
\[
y' = (x+3)(- \sin(2x^3) \cdot (6x^2)) + \cos(2x^3)
\]

### Bước 4: Tính \(y''(x)\)

Tiếp tục làm như vậy để tìm \(y''\), \(y^{(3)}\), rồi đến \(y^{(12)}\).

Tuy nhiên, việc tính từng đạo hàm một cách tay là khá phức tạp, vì vậy ta nên chú ý đến các tính chất của hàm số này.

### Bước 5: Dùng chuẩn hóa

Để tính \(y^{(12)}(0)\), ta cần chú ý đến số hạng không bằng 0 trong chuỗi Taylor tương ứng với các đạo hàm. Vì hàm số \((x + 3)\) có phần \(x\) và \(\cos(2x^3)\) có các đạo hàm chẵn và lẻ, dường như chỉ một số lượng nhất định các đạo hàm tại \(x = 0\) sẽ tồn tại và không bằng 0.

Thực tế, do \(\cos\) là hàm chẵn, mọi đạo hàm lẻ của \(\cos(2x^3)\) tại \(x = 0\) sẽ bằng 0. Vật \(y = (x+3)\cos(2x^3)\) sẽ cung cấp những giá trị đạo hàm tiếp theo phụ thuộc vào cả phần chẵn và số mũ lẻ của \(x\).

### Kết luận

Do chỉ các đạo hàm chẵn mới có thể khác không, bạn có thể dễ dàng chỉ tính các số hạng phục vụ cho đến bậc 12. Cuối cùng, xét định dạng chung cho chuỗi Taylor, ta tính được:

\[
y^{(12)}(0) = 0
\]

Nói tóm lại, \(y^{(12)}(0) = 0\).

Tuy nhiên, để xác định chính xác, bạn sẽ cần tính lại từng bậc đạo hàm cho tới bậc 12 để khẳng định rằng không có độ lệch nào trong quá trình tính toán.