Để giải bài toán này, ta sẽ chia ra làm các phần như yêu cầu.

**a. Chứng minh tam giác AMH đồng dạng tam giác AHB và từ đó suy ra \( AH^2 = AM \cdot AB \)**

- Tam giác ABC là tam giác cân với \( AB < AC \), tức là \( AC > AB \).
- Đường cao AH từ A hạ xuống BC. Chúng ta có các góc:
- \(\angle AHB = \angle AMH\) vì cả hai đều đối diện với cạnh AH.
- \(\angle AHM = \angle ABH\) vì AH vuông góc với BC, và AM vuông góc với AB.

Do đó, ta có tam giác AMH ~ tam giác AHB (theo tiêu chí góc-góc).

Từ tính chất tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AM}{AH}
\]

Giải phương trình trên, ta được:

\[
AH^2 = AM \cdot AB
\]

**b. Chứng minh \( AN \cdot AC = AM \cdot AB \)**

- Tương tự như trên, tam giác ANH và tam giác ACB cũng đồng dạng.
- Tổ hợp các góc ở tam giác ANH và ACB cho thấy:

\[
\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}
\]

Do đó:

\[
AN \cdot AC = AM \cdot AB
\]

**c. Vẽ đường cao BD cắt AH tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \( AEF = ABC \)**

- Khi kẻ đường thẳng DF song song với MN, ta có:
- Từ các tính chất của các đường thẳng song song và các góc tạo thành, ta có:

\[
\angle AEF = \angle ABC \quad (\text{góc đồng vị})
\]
\[
\angle AFE = \angle ACB \quad (\text{góc đồng vị})
\]

Do đó, hai tam giác AEF và ABC đồng dạng với nhau.

Từ đó, ta kết luận:

\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}
\]

Từ tính chất về tỷ lệ trong tam giác đồng dạng, ta có \( \frac{AEF}{ABC} = \left( \frac{AE}{AB} \right) \cdot \left( \frac{AF}{AC} \right) \).

Vì vậy, \( AE \cdot FA = AC \cdot AB \) dẫn đến tỉ lệ giữa hai tam giác là bằng nhau.

Chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán này. Nếu bạn còn câu hỏi hay cần làm rõ thêm điều gì, bạn có thể hỏi!