Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất về cung và dây trong đường tròn.

### a. Chứng minh số đo cung AC = số đo cung BD

1. Gọi \(O\) là tâm của đường tròn, \(I\) là điểm giao nhau của các dây \(AC\) và \(BD\).
2. Theo giả thiết, ta đã có \(AD = DC\) (vì \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\)).
3. Do \(AC\) = \(BD\) (theo giả thiết), \(AI + IC = BI + ID\).
4. Do đó, \(AI\) và \(IB\) là độ dài các đoạn thẳng nằm trên dây \(AB\) và \(IC\) và \(ID\) là độ dài các đoạn thẳng nằm trên dây \(CD\).
5. Sử dụng định lý về các góc nội tiếp, ta có:

\[
\angle AIO = \angle BIO \quad \text{và} \quad \angle CIO = \angle DIO
\]

6. Điều này cho thấy rằng các góc tại điểm giao nhau \(I\) có mối quan hệ với các cung mà chúng chắn trong đường tròn.

7. Do đó, theo định lý về cung:

\[
\text{số đo cung } AC = \text{số đo cung } BD
\]

### b. Chứng minh số đo cung AB = số đo cung CD

1. Tương tự như trên, ta có \(A\), \(B\), \(C\) và \(D\) là các điểm trên đường tròn O.
2. Vì \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\), ta có:
\[
AD + DC = AC
\]

3. Theo định nghĩa cung, số đo cung \(AB\) sẽ có liên hệ với các góc nội tiếp:

\[
\angle AOB = \angle COD
\]

4. Do đó, từ mối quan hệ của các góc và cung, ta suy ra:

\[
\text{số đo cung } AB = \text{số đo cung } CD
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.