Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành. b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh E, O, F thẳng hàng. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Tìm những yếu tố liên quan đến hình này

Để chứng minh các tính chất của tứ giác và các điểm trong hình bình hành ABCD, ta có thể làm như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD.

2. **Sử dụng định nghĩa tứ giác song song và bằng nhau:**
- Xét các đoạn thẳng:
- \(BE\) và \(DF\) là các đoạn nối từ B đến E và từ D đến F.
- Vì E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD, nên:
\[
\vec{BE} = \frac{1}{2} \vec{AB} \quad \text{và} \quad \vec{DF} = \frac{1}{2} \vec{CD}
\]
- Do ABCD là hình bình hành, nên \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\). Do đó, \(BE \parallel DF\).

3. **Chứng minh các đoạn đối diện bằng nhau:**
- Xét đoạn BF và ED:
- Ta có:
\[
\vec{BF} = \vec{CD} - \vec{AB} = \vec{AF} - \vec{BE}
\]
- Vì F và E lần lượt là trung điểm của CD và AB, nên \(BF = ED\).

4. **Kết luận:**
- Vậy tứ giác BEDF có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó BEDF là hình bình hành.

### b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh E, O, F thẳng hàng

1. **Chứng minh E, O, F thẳng hàng:**
- O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
- Trong hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo chia mỗi đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau:
\[
AO = OC \quad \text{và} \quad BO = OD
\]

2. **Xét các đoạn thẳng:**
- Vì E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD, nên:
- \(AE = EB\) và \(CF = FD\).

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành:**
- Xét tam giács AOD và COC, ta có \(AO = OC\) và \(OD = OB\).
- Từ đó, ta có tỉ lệ đoạn thẳng:
\[
\frac{AE}{E O} = \frac{CF}{F O}
\]

4. **Kết luận:**
- Vậy E, O, F thẳng hàng.

### Yếu tố liên quan đến hình bình hành ABCD

- Các góc đối diện bằng nhau.
- Các cạnh đối diện bằng nhau và song song.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tứ giác có thể được chia thành hai tam giác bằng nhau theo đường chéo.
- Từ ba yếu tố trên có thể suy ra thêm nhiều tính chất liên quan đến diện tích, chu vi, và mối quan hệ giữa các điểm.