Cho (O) và A là điểm nằm ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B, C là các tiếp điểm ), AO cắt BC tại M

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước giải quyết các phần a, b, c và d.

### a) CM OA là trung trực của đoạn BC

Ta có đoạn AO là đường nối từ A tới trung tâm O của đường tròn và BC là đoạn nối giữa hai điểm tiếp xúc B và C. Theo tính chất của tiếp tuyến và đường kính, đoạn AO sẽ cắt đoạn BC tại trung điểm M. Do đó, OA là trung trực của BC.

### b) Tính BM biết OM = 2 cm và AM = 8 cm

Từ các thông tin đã cho, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OAB, nơi:
- OA = AM + OM = 8 cm + 2 cm = 10 cm
- OM = 2 cm

Với đoạn BC là đường thẳng vuông góc với OA tại điểm M, ta có:
\[
BM + CM = BC
\]
Và:
\[
AB^2 = OA^2 - OM^2
\]
Chúng ta có:
\[
AB^2 = 10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96 \Longrightarrow AB = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}
\]

Bởi vì B là điểm tiếp xúc với đường tròn (O), nên:
\[
BM = AB = 4\sqrt{6}
\]

### c) Chứng minh OM \cdot OA = OG \cdot OH

- Đặt nguyên lý Pythagore trong tam giác OAG, với G là trung điểm của EF, tuyến chú ý cắt đường tròn (O) tại F và E.
- Chúng ta có \( OG \) là bán kính của hình tròn qua G tính từ O đến BC.

Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn:
- Suy ra: \( \frac{OM}{OA} = \frac{OH}{OG} \) từ tính chất của hình tròn nên:
\[
OM \cdot OA = OG \cdot OH
\]

### d) Chứng minh EH là tiếp tuyến của (O)

Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- Đường thẳng EH vuông góc với bán kính của (O) tại điểm H.
- Theo định lý tiếp tuyến: chiều dài từ các điểm ngoài (O) đến điểm tiếp xúc luôn đồng nhất với quang đường giữa đoạn thẳng nối điểm ngoài và tâm của hình tròn chia ra bởi tiếp điểm.
- Từ đó, chúng ta có thể trực tiếp chứng minh \( EH \) là tiếp tuyến tại H.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh và giải quyết được các phần của bài toán bằng cách áp dụng các tính chất của tam giác, tiếp tuyến, và hình tròn.