Để phân tích đa thức \( P(x) = x^7 + x^5 + 1 \) thành nhân tử, chúng ta sẽ thử một số phương pháp và quy tắc.

Đầu tiên, quan sát rằng \( P(x) \) có thể được viết lại dưới dạng:

\[
P(x) = x^7 + x^5 + 1 = x^5(x^2 + 1) + 1
\]

Tuy nhiên, phương pháp này không dẫn đến việc phân tích nhân tử một cách rõ ràng. Thay vào đó, chúng ta có thể thử nghiệm với những mẫu thường gặp trong âm tính hoặc dùng phần bù.

Một phương pháp khác là thử nghiệm các giá trị cụ thể. Ta có thể thử lần lượt với các giá trị của \( x \) trong hợp số tọa độ. Tuy nhiên, việc này có thể không hiệu quả trong việc tìm nghiệm nguyên.

Nhìn vào tổng quát hơn, ta có thể thử phân tích \( P(x) \) qua những biểu thức khác nhau hoặc thậm chí lý thuyết gốc.

Tuy nhiên, có một công thức thú vị trong lý thuyết tối ưu rằng \( x^n + 1\) (với \( n \) là số lẻ) có thể được ghi thành tích nhân tử của các đa thức cấp thấp hơn. Từ đó, ta có thể thử thêm cho đa thức \( x^7 + x^5 + 1 \):

\[
P(x) = (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)
\]

Phân tích này có thể xác minh bằng cách nhân các nhân tử lại với nhau:

\[
(x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)
\]

Sau khi kiểm tra, ta có được:

\[
= x^7 + x^5 + 1
\]

Qua đó, ta đã có được sự phân tích thành nhân tử cho đa thức:

\[
x^7 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)
\]

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn!