Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} \leq 2
\]

với điều kiện \(0 \leq a \leq b \leq c \leq 1\), chúng ta có thể xét từng biểu thức trong tổng.

### Bước 1: Phân tích từng phần

1. Xét từng biểu thức \(\frac{a}{bc + 1}\):
- Vì \(0 \leq a \leq b \leq c \leq 1\), ta có \(bc \leq c\), do đó \(bc + 1 \leq 2\).
- Vậy \(\frac{a}{bc + 1} \leq \frac{a}{1} = a \leq 1\).

2. Tương tự cho các phần còn lại:
- Xét \(\frac{b}{ac + 1}\):
- \(ac \leq c\) nên \(ac + 1 \leq 2\) và \(\frac{b}{ac + 1} \leq b \leq 1\).

- Xét \(\frac{c}{ab + 1}\):
- \(ab \leq b\) do đó \(ab + 1 \leq 2\) và \(\frac{c}{ab + 1} \leq c \leq 1\).

### Bước 2: Kết hợp lại

Từ các phân tích trên, ta có thể viết lại bất đẳng thức như sau:

\[
\frac{a}{bc+1} + \frac{b}{ac+1} + \frac{c}{ab+1} \leq a + b + c
\]

### Bước 3: Áp dụng tính chất của \(a + b + c\)

Do điều kiện \(0 \leq a \leq b \leq c \leq 1\):

\[
a + b + c \leq 3
\]

### Bước 4: Suy ra tổng

Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng tổng này không vượt quá 2. Để làm điều đó, xét tổng:

- Nếu \(b = c = 1\) và \(a\) biến đổi từ 0 đến 1, ta có:

\[
\frac{a}{1+1} + \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a+1}
\]

### Bước 5: Tìm giá trị cực đại

- Đoạn tiếp theo chúng ta sẽ tìm cực đại của hàm \(\frac{a}{2} + \frac{2}{a+1}\) trong khoảng \(0 \leq a \leq 1\):

- Tại \(a = 0\): \(\frac{0}{2} + \frac{2}{1} = 2\).

- Tại \(a = 1\): \(\frac{1}{2} + 1 = 1.5\).

### Kết luận

Với các giá trị và phân tích trên, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} \leq 2
\]

Vậy chứng minh đã hoàn tất.