Tìm nghiệm nguyên: (x + y)(2x + 3y)^2 + 2x + y + 2 = 0

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình

\[
(x + y)(2x + 3y)^2 + 2x + y + 2 = 0,
\]

chúng ta có thể thử một số giá trị cho \(x\) và \(y\) và xem có thể tìm được những cặp giá trị nào thỏa mãn phương trình trên.

### Phân tích phương trình

Gọi \( z = x+y \) và \( t = 2x + 3y \), thì phương trình có thể viết lại như sau:

\[
z t^2 + 2x + y + 2 = 0.
\]

Ta cần kiểm tra xem liệu có giá trị nào của \(x\) và \(y\) sao cho phương trình này trở thành 0.

### Thử một vài giá trị

Ta sẽ thử một vài cặp giá trị nhỏ cho \(x\) và \(y\):

1. **Giá trị thử 1**: \(x = 0\), \(y = -2\):
\[
(0 - 2)(2 \cdot 0 + 3 \cdot (-2))^2 + 2 \cdot 0 + (-2) + 2 = (-2)(-6)^2 + 0 - 2 + 2 = -2 \cdot 36 + 0 = -72 \neq 0.
\]

2. **Giá trị thử 2**: \(x = -1\), \(y = 0\):
\[
(-1 + 0)(2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0)^2 + 2 \cdot (-1) + 0 + 2 = (-1)(-2)^2 - 2 + 0 + 2 = -1 \cdot 4 - 2 + 2 = -4 \neq 0.
\]

3. **Giá trị thử 3**: \(x = 1\), \(y = -1\):
\[
(1 - 1)(2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1))^2 + 2 \cdot 1 + (-1) + 2 = (0)(-1)^2 + 2 - 1 + 2 = 0 + 3 = 3 \neq 0.
\]

4. **Giá trị thử 4**: \(x = -2\), \(y = 0\):
\[
(-2 + 0)(2 \cdot (-2) + 3 \cdot 0)^2 + 2 \cdot (-2) + 0 + 2 = (-2)(-4)^2 - 4 + 0 + 2 = -2 \cdot 16 - 4 + 2 = -32 - 4 + 2 = -34 \neq 0.
\]

### Kết luận

Việc tìm kiếm nghiệm nguyên cho phương trình này có thể là khó khăn, bởi vì khi thử nghiệm một vài giá trị cơ bản, không tìm thấy giá trị nào thoả mãn.

Tuy nhiên, để xác định một cách chính xác nghiệm nguyên của phương trình này, ta có thể cần đến kỹ thuật hoặc phương pháp giải quyết khác, chẳng hạn như kiểm tra số học hoặc áp dụng đại số để rút gọn và phân tích phương trình hơn nữa.

Nếu bạn có một phương pháp tiếp cận hoặc máy tính hỗ trợ, có thể thực hiện kiểm tra nhiều giá trị \(x, y\) hơn.