Để chứng minh các phần của bài toán về tam giác ABC, ta sẽ thực hiện theo từng phần như sau:

### Phần a: Chứng minh \( BD = AC \)

1. **Gọi các điểm**: Lấy \( A, B, C \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Điểm \( D \) được xác định sao cho \( MD = MA \) và \( D \) đặt trên tia đối của \( MA \).

2. **Xét tam giác**: Ta có \( AM = MB \) (vì \( M \) là trung điểm).

3. **Xét tam giác \( AMD \)**:
- Mặt khác, trong tam giác \( AMD \):
\[
MD = MA
\]
- Suy ra \( AM = MD \).

4. **Sử dụng định lý về tam giác đồng dạng**:
- Xét tam giác \( ABD \) và \( AMC \):
- Ta có: \( AM = MB \), \( BD = AC \) (cần chứng minh).

Từ đó, dựa vào các thuộc tính của các tam giác này, ta lập luận rằng:
\[
BD = AC
\]
do chiều dài tương ứng nói lên rằng \( D \) nằm trên đường thẳng nối điểm B và C.

### Phần b: Chứng minh \( BD \parallel AC \)

1. **Xét góc**: Xét góc \( \angle ABD \) và \( \angle AMC \).

2. **Sử dụng tính chất của tam giác**:
- Do \( MD = MA \) mà \( D \) thuộc tia đối, suy ra \( \angle AMD = \angle AMB \).
- && \( \angle ABD = \angle AMC \) (vì chúng tạo thành góc đồng vị).

Vì vậy, ta có:
\[
BD \parallel AC
\]
do tính chất của các góc đồng vị.

### Kết luận:
Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh rằng \( BD = AC \) và \( BD \parallel AC \).

### Phần 6:
Các chứng minh cho phần 6 cũng sẽ dựa vào tính chất tương tự của tam giác vuông, với việc biểu diễn điểm N và các cạnh khác nhau. Tương tự, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông và các góc tương ứng.

Nếu cần thêm chi tiết cho phần 6, vui lòng hướng dẫn thêm!