Để chứng minh tam giác \( AHC \) là tam giác vuông, ta lần lượt phân tích các yếu tố trong đề bài.

1. **Điểm \( I \)** là trung điểm của \( BC \). Ta có thể sử dụng định lý trung điểm để cho rằng \( BI = IC \).

2. **Đường thẳng \( BD \)** vuông góc với \( AB \) cho thấy rằng góc \( ABD = 90^\circ \).

3. **Điểm \( E \)** nằm trên tia đối của tia \( ID \) sao cho \( IE = ID \). Điều này có thể hiểu là \( E \) cách \( I \) một khoảng bằng \( ID \) theo hướng ngược lại của đường thẳng \( ID \).

4. **Tam giác \( AHC \)** cần được chứng minh là tam giác vuông. Điều này có thể được thực hiện bằng cách chỉ ra rằng \( AH \) vuông góc với \( AC \).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh \( H \) là điểm mà \( CE \) cắt \( AB \), và từ đó ta có thể tính toán các góc.

### Chứng minh:

1. **Xác định các góc**:
- Từ \( \triangle AIB \): Có \( I \) là trung điểm của \( BC \). Ta có \( BI \parallel AC \) do tính chất của trung điểm và đường song song.
- Với \( E \) trên tia đối \( ID \), ta có \( \angle IDE = 90^\circ \).

2. **Tam giác \( AHC \)**:
- Sử dụng các góc này, suy ra rằng \( \angle AHB = \angle IDE \) (bằng nhau vì đồng vị).
- Nếu \( AH \) vuông góc với \( BC \), và do tính chất của các hình vuông, tam giác \( AHC \) sẽ vuông tại góc \( AHB \).

### Kết luận:

Từ những phân tích trên và tính chất của các đường vuông góc, ta có thể kết luận rằng tam giác \( AHC \) chính là tam giác vuông tại \( H \).