Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị của \( x \) (thuộc tập hợp các số tự nhiên \( \mathbb{N} \)) sao cho \( x - 1 \) là ước của \( 2x + 5 \).

Theo định nghĩa, nếu \( x - 1 \) là ước của \( 2x + 5 \), thì tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[
2x + 5 = k(x - 1)
\]

Giải phương trình này, ta chuyển đổi:

\[
2x + 5 = kx - k
\]

\[
2x - kx = -k - 5
\]

\[
(2 - k)x = -k - 5
\]

Từ đây, ta có thể viết:

\[
x = \frac{-k - 5}{2 - k}
\]

Để \( x \) là một số tự nhiên, cả tử số \(-k - 5\) và mẫu số \(2 - k\) phải có cùng dấu và \(2 - k \neq 0\).

### Xét các trường hợp:

1. **Trường hợp 1:** \( 2 - k > 0 \) (tức là \( k < 2 \)):
- Khi \( k = 1 \)
\[
x = \frac{-1 - 5}{2 - 1} = \frac{-6}{1} = -6 \quad (\text{không hợp lệ})
\]
- Khi \( k = 0 \)
\[
x = \frac{-0 - 5}{2 - 0} = \frac{-5}{2} = -2.5 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

2. **Trường hợp 2:** \( 2 - k < 0 \) (tức là \( k > 2 \)):
- Khi \( k = 3 \)
\[
x = \frac{-3 - 5}{2 - 3} = \frac{-8}{-1} = 8 \quad (\text{hợp lệ})
\]
- Khi \( k = 4 \)
\[
x = \frac{-4 - 5}{2 - 4} = \frac{-9}{-2} = 4.5 \quad (\text{không hợp lệ})
\]
- Khi \( k = 5 \)
\[
x = \frac{-5 - 5}{2 - 5} = \frac{-10}{-3} \quad (\text{khoảng không hợp lệ})
\]

### Kết luận:

Vậy, giá trị duy nhất mà \( x \) là số tự nhiên, với điều kiện \( x - 1 \) là ước của \( 2x + 5 \), chính là:
\[
x = 8
\]

Vì vậy, \( x \) duy nhất thuộc \( \mathbb{N} \) thỏa mãn điều kiện đề bài là:

\[
\boxed{8}
\]