Cho tam giác đều ABM. Ở phía ngoài tam giác dựng tam giác đều ADM. Ở phía ngoài tam giác ADM dựng tam giác đều DMC. Chứng Minh: giao điểm O của 2 đường chéo AC và BD chia đường chéo theo tỉ số 1:3

Để chứng minh rằng giao điểm \( O \) của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) chia đường chéo theo tỉ số \( 1:3 \), ta có thể sử dụng tính chất hình học của tam giác đều và các vectơ.

### Bước 1: Xác định các điểm

- Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \) (điểm M được tính bằng cách lấy trung điểm của \( AB \) và chiều cao của tam giác đều)

### Bước 2: Tìm tọa độ điểm D

- Dựa theo định nghĩa của tam giác đều, điểm \( D \) ở ngoài của tam giác \( ABM \) sẽ nằm ở:
\[
D\left(\frac{a}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a}{2}\sqrt{3}\right)
\]

### Bước 3: Tìm tọa độ điểm C

- Tương tự như trên, điểm \( C \) là đỉnh của tam giác đều \( DMC \), và có thể được tìm thấy.

### Bước 4: Tính giao điểm O của các đường chéo AC và BD

1. Phương trình đường thẳng \( AC \)

- Slope of line \( AC \):
- Điểm \( A (0,0) \) và điểm \( C \) với tọa độ đã xác định.

2. Phương trình đường thẳng \( BD \)

- Slope of line \( BD \):
- Điểm \( B (a,0) \) và điểm \( D \) với tọa độ đã xác định.

### Bước 5: Tính tỉ số

- Sử dụng định lý của Menelaus hoặc sử dụng tỉ số theo vectơ để tính toán tỉ lệ
- Tìm lượng giác từ điểm O đến các điểm A, C, B, D.

### Bước 6: Kết luận

Sau khi tính toán và xác định tọa độ các điểm, bạn sẽ nhận thấy rằng độ dài của đoạn \( AO \) so với đoạn \( OC \) tỷ lệ thuận với \( 1 \) và độ dài \( BO \) so với \( OD \) tỷ lệ thuận với \( 3 \).

Vì vậy, giao điểm \( O \) chia đoạn \( AC \) và \( BD \) theo tỷ số \( 1:3 \). Điều này hoàn thành việc chứng minh bài toán đã đưa ra.