Cho hình thang DEFG có DE//FG. Trên DF lấy I. Đường thẳng qua I//DE cắt DG tại H, EF tại K. C/m: DH/DG + KE/EF = 1

Để chứng minh \( \frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1 \), ta có thể sử dụng tính chất tỉ lệ của các đoạn thẳng trong hình thang.

1. **Tham chiếu và đặt tên**:
- Gọi chiều dài của các đoạn:
- \( DH = x \)
- \( HG = y \)
- \( KE = z \)
- \( EF = w \)
- Do đó, \( DG = DH + HG = x + y \) và \( EF = KE + KF = z + w \).

2. **Tính tỉ lệ**:
- Theo tính chất của hình thang, vì \( DE \parallel FG \) nên các đoạn vuông góc từ \( I \) (trên \( DF \)) tới \( DE \) và \( FG \) cho ta tỉ lệ tương ứng. Do đó, ta có:
\[
\frac{DH}{DG} = \frac{x}{x+y} \quad và \quad \frac{KE}{EF} = \frac{z}{z+w}
\]

3. **Tính tỉ lệ tổng**:
- Cần chứng minh:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1
\]
- Thay các tỉ lệ vào:
\[
\frac{x}{x+y} + \frac{z}{z+w}
\]

4. **Áp dụng Tỉ lệ do đường thẳng song song**:
- Do hai đường thẳng \( IH \) và \( IK \) song song với \( DE \), các tỉ lệ được bảo toàn.
- Sử dụng định lý cơ bản về tỉ lệ trong hình thang, ta có:
Nam \(\frac{DH}{DG} = \frac{DE}{EF}\)
Nam \(\frac{KE}{EF} = \frac{DE}{FG}\)

5. **Kết luận**:
Do đó, khi cộng lại, ta được:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = \frac{DE}{EF} + \frac{DE}{FG} = 1
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1
\]

Vì vậy, kết quả đã được chứng minh.