Gọi \( x \) là số giờ mà công nhân thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc. Khi đó, công nhân thứ nhất sẽ cần \( x + 12 \) giờ để hoàn thành công việc.

Tính thời gian làm việc của mỗi công nhân một cách tương ứng, ta có:

- Công nhân thứ nhất hoàn thành công việc trong \( x + 12 \) giờ, nên năng suất của anh ta là \( \frac{1}{x + 12} \) (công việc xong trong 1 giờ).
- Công nhân thứ hai hoàn thành công việc trong \( x \) giờ, nên năng suất của anh ta là \( \frac{1}{x} \).

Khi hai công nhân làm việc cùng nhau, năng suất tổng hợp của họ là:

\[
\frac{1}{x + 12} + \frac{1}{x}
\]

Theo đề bài, khi hai công nhân làm việc cùng nhau, họ hoàn thành công việc trong 8 giờ, vì vậy:

\[
\frac{1}{x + 12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8}
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{x + (x + 12)}{x(x + 12)} = \frac{1}{8}
\]

\[
\frac{2x + 12}{x^2 + 12x} = \frac{1}{8}
\]

Tạm thời nhân chéo:

\[
8(2x + 12) = x^2 + 12x
\]

Sắp xếp lại phương trình:

\[
16x + 96 = x^2 + 12x
\]

\[
x^2 - 4x - 96 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -96 \):

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{400}}{2}
\]

\[
x = \frac{4 \pm 20}{2}
\]

Nghiệm thứ nhất:

\[
x = \frac{24}{2} = 12
\]

Nghiệm thứ hai:

\[
x = \frac{-16}{2} = -8 \text{ (loại bỏ vì không hợp lý)}
\]

Vậy, công nhân thứ hai làm một mình trong 12 giờ.

Còn công nhân thứ nhất làm một mình trong:

\[
x + 12 = 12 + 12 = 24 \text{ giờ}
\]

**Kết luận:**
- Công nhân thứ nhất cần 24 giờ để hoàn thành công việc một mình.
- Công nhân thứ hai cần 12 giờ để hoàn thành công việc một mình.