Để giải quyết bài toán, ta sẽ đặt số gạo nếp và gạo tẻ ban đầu như sau:

- Gạo nếp: \( x \) kg
- Gạo tẻ: \( y \) kg

### a) Chứng tỏ \( \frac{1}{25} \) số gạo nếp = \( \frac{1}{27} \) số gạo tẻ

Theo bài toán, sau khi bán, số gạo còn lại của gạo nếp là:
\[
x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x
\]
và số gạo còn lại của gạo tẻ là:
\[
y - \frac{5}{9}y = \frac{4}{9}y
\]

Theo đề bài, số gạo còn lại của hai loại gạo này bằng nhau, tức là:
\[
\frac{3}{5}x = \frac{4}{9}y
\]

Để giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với 45 (bội chung nhỏ nhất của 5 và 9):
\[
45 \cdot \frac{3}{5}x = 45 \cdot \frac{4}{9}y
\]

Tính toán ta có:
\[
27x = 20y
\]
=>
\[
\frac{x}{y} = \frac{20}{27}
\]

Từ đây, ta có:
\[
x = \frac{20}{27}y
\]

Khi đó, ta có thể tính
\[
\frac{1}{25} x = \frac{1}{25} \cdot \frac{20}{27}y = \frac{20}{675}y
\]

Và
\[
\frac{1}{27} y = \frac{1}{27} y = \frac{25}{675}y
\]

Ta thấy:
\[
\frac{1}{25} x = \frac{20}{675} y \quad \text{và} \quad \frac{1}{27} y = \frac{25}{675} y
\]

=> \( \frac{1}{25} x = \frac{1}{27} y \) ⇒ đúng.

### b) Nếu tổng là 520 kg thì lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu kg gạo?

Ta có phương trình tổng:
\[
x + y = 520
\]

Với \( x = \frac{20}{27}y \), ta thay vào phương trình tổng:
\[
\frac{20}{27}y + y = 520
\]

Tìm bội chung nhỏ nhất:
\[
\frac{20y + 27y}{27} = 520 \Rightarrow \frac{47y}{27} = 520
\]

Giải phương trình:
\[
47y = 520 \times 27
\]
\[
47y = 14040
\]
\[
y = \frac{14040}{47} = 298.936... \approx 299 \text{ kg}
\]

Thay ngược vào để tính \( x \):
\[
x = 520 - y = 520 - 299 = 221 \text{ kg}
\]

Vậy rốt cuộc:
- Số kg gạo nếp: \( 221 \) kg
- Số kg gạo tẻ: \( 299 \) kg

Kết luận:
- Gạo nếp: \( 221 \) kg
- Gạo tẻ: \( 299 \) kg