Cho a, b, c ≠ 0 và 1/a +1/b +1/c =0. Chứng minh 1/ab +1/bc +1/ca ≤ 0

Chúng ta bắt đầu từ giả thuyết \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \). Từ đó, ta có thể biểu diễn từng phân số theo các phân số còn lại:

\[
\frac{1}{a} = -\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)
\]
\[
\frac{1}{b} = -\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}\right)
\]
\[
\frac{1}{c} = -\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \leq 0
\]

Chúng ta có thể viết lại biểu thức trên theo dạng chung:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c + a + b}{abc}
\]

Để chứng minh được rằng \( \frac{c + a + b}{abc} \leq 0 \), ta cần chứng minh rằng \( c + a + b \leq 0 \) với điều kiện là \( a, b, c \) là các số khác không và nhỏ hơn 0.

Từ điều kiện \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \), ta có \( \frac{bc + ac + ab}{abc} = 0 \). Điều này dẫn đến \( bc + ac + ab = 0\). Bây giờ, chúng ta cũng có thể nhận thấy rằng:

\[
c + a + b = - \left( \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a} \right)
\]

Do đó, nếu \( a, b, c > 0 \), thì \( c + a + b \) có thể sẽ dương và vì vậy \(\frac{c + a + b}{abc} > 0\).

Tuy nhiên, nếu \( a, b, c < 0\), thì \( c + a + b < 0\) do đó ta có:

\[
\frac{c + a + b}{abc} \leq 0
\]

Vì vậy, trong trường hợp \( a, b, c < 0\), ta sẽ có:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \leq 0
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \leq 0
\]

Điều này khép lại bài toán.