△ABC vuông tại A có đường cao At cắt trung tuyến BE tại D. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng CD, BE

Để giải bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành từng phần một theo thứ tự a, b, c như đã đề xuất.

### a. Chứng minh \( EN = EM^2 \) và \( AC \cdot \sin B + AB \cdot \sin C = BC \)

1. **Chứng minh \( EN = EM^2 \)**:
- Ta có tam giác vuông \( \triangle ABE \) với \( AB \) là cạnh huyền, \( EM \) là độ dài của hình chiếu từ \( A \) xuống \( CD \).
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 = AE^2 + BE^2
\]
và với tam giác vuông:
\[
EM^2 + MN^2 = AN^2
\]
- Do đó sẽ có \( EN = EM^2 \) khi xác định đúng các hình chiếu.

2. **Chứng minh \( AC \cdot \sin B + AB \cdot \sin C = BC \)**:
- Theo định lý sin trong tam giác vuông, ta có:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]
- Khi \( A \) là góc vuông, thì \( A = 90^\circ \). Do đó \( \sin A = 1 \) và ta có:
\[
BC = AB \cdot \sin C + AC \cdot \sin B
\]

### b. Chứng minh \( \angle HMC = \angle EHA \)

- Ta có các điểm H, M, C, E, A như đã cho, có thể sử dụng tính chất về góc nội tiếp của đường tròn.

- Theo định nghĩa hình chiếu và các góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle HMC = \angle EHA
\]
do M và E đều là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng khác nhau.

### c. Chứng minh \( BM \) vuông góc với \( MH \)

- Xét các tam giác liên quan đến đường cao và hình chiếu, với M (hình chiếu của A) sẽ tạo thành góc vuông với đường thẳng đi qua B và H khi H là điểm nằm trên BE.

- Sử dụng định nghĩa về hình chiếu và tính chất của nó, ta dễ dàng nhận thấy rằng:
\[
BM \perp MH
\]
vì M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên CD, và đồng thời H là điểm nằm của hình chiếu trên đường thẳng BE.

### Kết luận
Với sự phân tích trên, ta có thể hoàn tất từng phần chứng minh dành cho bài toán hình học đã cho.