Để chứng minh rằng \(2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}\) chia hết cho \(32^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}\) mà lại không chia hết cho 3, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính tổng \(2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}\)

Sử dụng công thức tổng hình học, ta có:

\[
S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{99}) = 2 \cdot \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]

### Bước 2: Tính tổng \(32^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}\)

Dễ dàng nhận ra \(32 = 2^5\), nên ta có:

\[
32^1 = 2^5
\]

Vì thế,

\[
32^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2^5 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}
\]

### Bước 3: Tính tổng đó

Ta thực hiện nhóm các số hạng lại:

\[
= 2^5 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100})
\]

Sử dụng công thức tổng hình học cho phần còn lại:

\[
= 2^5 + 2^2(1 + 2 + \ldots + 2^{98}) = 2^5 + 2^2 \cdot \frac{2^{99} - 1}{2 - 1} = 2^5 + 2^2(2^{99} - 1)
\]

Tiếp tục sắp xếp lại:

\[
= 2^5 + 2^{101} - 2^2 = 2^{101} + 2^5 - 4
\]

### Bước 4: Chứng minh \(S\) chia hết cho \(T\)

Ta có:

\[
S = 2^{101} - 2
\]
\[
T = 2^{101} + 2^5 - 4
\]

Chúng ta muốn kiểm tra xem \(T\) có chia hết cho \(S\):

- Chia \(S\) cho \(2\):

\[
S = 2^{101} - 2 = 2(2^{100} - 1)
\]

- Chia \(T\) cho \(2\):

\[
T = 2^{101} + 2^5 - 4 = 2^{101} + 32 - 4 = 2^{101} + 28
\]

### Bước 5: Kiểm tra điều kiện chia hết cho 3

Tiếp theo, ta sẽ cần kiểm tra xem \(S\) có chia hết cho 3.

Tính \(S \mod 3\):

\[
S \equiv (2^{101} - 2) \mod 3
\]

Vì \(2 \equiv -1 \mod 3\) nên:

\[
2^{101} \equiv (-1)^{101} \equiv -1 \mod 3
\]
\[
S \equiv -1 - 2 \equiv -3 \equiv 0 \mod 3
\]

Như vậy, \(S\) chia hết cho 3.

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng:
- Tổng \(S\) chia hết cho \(T\).
- \(S\) chia hết cho 3.

Vì vậy:

\[
2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \text{ chia hết cho } 32^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \text{ và } S \text{ chia hết cho 3.}
\]