Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2 \quad (1)\\
\frac{8}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ta đặt:

\[
a = \frac{1}{x-1} \quad và \quad b = \frac{1}{y-2}
\]

Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
2a + b = 2 \quad (3)\\
8a - 3b = 1 \quad (4)
\end{cases}
\]

Bây giờ, từ phương trình (3), ta tách b:

\[
b = 2 - 2a
\]

Thay b vào phương trình (4):

\[
8a - 3(2 - 2a) = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
8a - 6 + 6a = 1
\]
\[
14a - 6 = 1
\]
\[
14a = 7 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}
\]

Thay giá trị của a vào (3) để tìm b:

\[
2\left(\frac{1}{2}\right) + b = 2
\]
\[
1 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 1
\]

Vậy ta có:

\[
a = \frac{1}{2} \quad và \quad b = 1
\]

Trở về với x và y:

\[
\frac{1}{x-1} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x - 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]

\[
\frac{1}{y-2} = 1 \quad \Rightarrow \quad y - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (3, 3)
\]