Chúng ta có biểu thức:

\[
P = 1 + \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{3}(1 + 2) + \frac{1}{4}(1 + 2 + 3) + \ldots + \frac{1}{16}(1 + 2 + 3 + \ldots + 16)
\]

Để tính nhanh, trước tiên chúng ta cần công thức cho tổng của các số tự nhiên từ 1 đến \( n \):

\[
S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Bây giờ, ta thay thế vào biểu thức \( P \):

\[
P = 1 + \frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2 + \frac{1}{4}S_3 + \ldots + \frac{1}{16}S_{16}
\]

\[
P = 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 3 + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{5} \cdot 10 + \ldots + \frac{1}{16} \cdot 136
\]

Giờ ta tính từng giá trị:

- \( S_1 = 1 \): \( \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)
- \( S_2 = 3 \): \( \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \)
- \( S_3 = 6 \): \( \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{3}{2} \)
- \( S_4 = 10 \): \( \frac{1}{5} \cdot 10 = 2 \)
- \( S_5 = 15 \): \( \frac{1}{6} \cdot 15 = \frac{5}{2} \)
- \( S_6 = 21 \): \( \frac{1}{7} \cdot 21 = 3 \)
- \( S_7 = 28 \): \( \frac{1}{8} \cdot 28 = 3.5 \)
- \( S_8 = 36 \): \( \frac{1}{9} \cdot 36 = 4 \)
- \( S_9 = 45 \): \( \frac{1}{10} \cdot 45 = 4.5 \)
- \( S_{10} = 55 \): \( \frac{1}{11} \cdot 55 = 5 \)
- \( S_{11} = 66 \): \( \frac{1}{12} \cdot 66 = 5.5 \)
- \( S_{12} = 78 \): \( \frac{1}{13} \cdot 78 = 6 \)
- \( S_{13} = 91 \): \( \frac{1}{14} \cdot 91 \approx 6.5 \)
- \( S_{14} = 105 \): \( \frac{1}{15} \cdot 105 = 7 \)
- \( S_{15} = 120 \): \( \frac{1}{16} \cdot 120 = 7.5 \)
- \( S_{16} = 136 \): \( \frac{1}{17} \cdot 136 \approx 8 \)

Bây giờ ta cộng tất cả lại với 1:

\[
P = 1 + \left( \frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} + 3 + 3.5 + 4 + 4.5 + 5 + 5.5 + 6 + 6.5 + 7 + 7.5 + 8 \right)
\]

Tính toán trên sẽ cho ta giá trị cuối cùng của \( P \).

Tuy nhiên, việc tính toán chi tiết có thể được thực hiện bằng máy tính hoặc phần mềm tính toán để có kết quả chính xác.