Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

a) **Chứng minh tam giác EDF vuông cân.**

Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng \( a \). Xét vị trí các điểm:

- Tọa độ A: \( (0, 0) \)
- Tọa độ B: \( (a, 0) \)
- Tọa độ C: \( (a, a) \)
- Tọa độ D: \( (0, a) \)

Điểm E được lấy trên tia đối của tia BA, tức là trên đường thẳng kéo dài từ B, do đó tọa độ của E là \( (-x, 0) \) (với \( x > a \) để chiều dài AE = x).

Điểm F nằm trên tia đối của tia CB, tức là trên đường thẳng kéo dài từ C, vì vậy tọa độ của F cũng có thể viết là \( (a, a + y) \) (với \( y > 0 \) để CF = y).

Khi đó, ta có:

- Độ dài AE = độ dài CF = x.

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác EDF:

\[
\text{ED}^2 = (\text{E}_x - \text{D}_x)^2 + (\text{E}_y - \text{D}_y)^2
\]
\[
\text{DF}^2 = (\text{D}_x - \text{F}_x)^2 + (\text{D}_y - \text{F}_y)^2
\]

Sau đó, ta chứng minh là \(\text{ED} = \text{DF}\).

b) **Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.**

Tọa độ của I được tính như sau:

\[
I_x = \frac{E_x + F_x}{2}, \quad I_y = \frac{E_y + F_y}{2}
\]

Từ đó, chứng minh rằng độ dài \(BI\) và \(DI\) là bằng nhau bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách.

c) **Chứng minh ba điểm A, C, I thẳng hàng.**

Để chứng minh A, C, I thẳng hàng, ta cần tìm phương trình nối ba điểm.

Nếu A, C, I thẳng hàng, thì hệ số góc của đoạn thẳng AC phải bằng hệ số góc của đoạn thẳng AI. Tính toán này có thể dựa trên tọa độ của A, C và I.

Tóm lại, áp dụng các định lý hình học, tính toán tọa độ và định lý Pythagoras sẽ giúp chúng ta hoàn thành bài toán này.