Để tính tổng \( M = \frac{19}{x+y} + \frac{19}{y+z} + \frac{21}{z+x} + \frac{21}{x+y} + \frac{23}{y+z} + \frac{23}{z+x} \), có thể áp dụng quy tắc cộng cho từng phân số.

1. **Thấy rõ các phân số:**
- Chú ý rằng có sự lặp lại của các phần tử, ví dụ: \( \frac{19}{x+y} \) xuất hiện hai lần.
- Các phân số sẽ được nhóm lại để dễ tính toán hơn.

2. **Nhóm lại:**
\[
M = 2 \cdot \frac{19}{x+y} + 2 \cdot \frac{21}{z+x} + 2 \cdot \frac{23}{y+z}
\]

3. **Áp dụng đồng nhất cho toàn bộ:**
\[
M = 2\left( \frac{19}{x+y} + \frac{21}{z+x} + \frac{23}{y+z} \right)
\]

Đối với việc tính toán tổng cụ thể hơn, cần có giá trị của \( x, y, z \) để thực hiện phép tính. Nếu không có giá trị cụ thể cho \( x, y, z \), ta không thể tính được giá trị chính xác của \( M \).

Nếu cần giúp đỡ thêm về một phần cụ thể nào đó của bài toán, các bạn hãy cho biết!