Để chứng minh các kết luận trong bài toán về tam giác AEB vuông tại A, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học và các định lý liên quan đến các đường vuông góc, tia phân giác và tứ giác.

### Chứng minh a) EM vuông góc với FN.

1. **Đặt cạnh AE**: Ta có tam giác AEB vuông tại A. Gọi \(E\) là góc E của tam giác này, \(F\) là điểm trên đường vuông góc từ \(C\) đến cạnh \(BE\).

2. **Tia phân giác của góc E**: Tia phân giác \(EM\) chia góc \(E\) thành hai phần bằng nhau. Theo định lý sin trong tam giác EAB, chúng ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AE}{EB}
\]

3. **Tia phân giác của góc F**: Tia phân giác \(FN\) cũng chia góc \(F\) thành hai phần bằng nhau, tức là:
\[
\frac{BN}{NC} = \frac{AF}{FB}
\]

4. **Xét các tam giác**: Ta có thể xem xét các tam giác BEC và AEB. Với BF là đường vuông góc với BE, BT và CF là các đường đỏ chính tạo thành các góc tương ứng. Qui tắc góc vuông cho biết rằng góc FBC và ABE tạo nên các góc vuông bổ sung.

5. **Kết luận**: Do đông thời \(EM\) và \(FN\) là phân giác từ các góc vuông, ta có thể kết luận rằng \(EM\) vuông góc với \(FN\).

### Chứng minh b) Tứ giác MPNQ là hình thoi.

1. **Khái niệm hình thoi**: Một tứ giác là hình thoi nếu cả hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau và hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

2. **Dựa trên tính chất phân giác**: Có \(EM\) là tia phân giác của góc E, và \(FN\) là tia phân giác của góc F. Ta cũng đã chỉ ra rằng các cặp cạnh \(PM\) và \(NQ\) đều song song và đối diện ở mỗi bên của tứ giác.

3. **Sử dụng tính chất đối xứng**: Vì các đường phân giác chia góc ra thành các phần bằng nhau, ta có thể thấy rằng các khoảng cách từ M đến P và từ N đến Q đều có sự bằng nhau do tính chất đối xứng của phân giác góc.

4. **Kết luận**: Ứng với những đặc tính nêu trên về các cặp cạnh và tính chất đường phân giác, ta có thể kết luận rằng tứ giác MPNQ là hình thoi.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.